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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 12

Um campo de velocidade na região mostrada dado por V → = a j ^ + b y k ^ , em que a   =   10   m / s e b   =   5   s - 1 . Para o volume de controle triangular de 1 m = 1 m (com profundidade w   =   1   m perpendicular ao diagrama), um elemento de área pode ser representado por d A → = w d z ĵ =   w d y k ^ e um elemento de área por d A → 2 = - w d y k ^ .

(a) Encontre uma expressão para V → d A → 1 .

(b) Avalie ∫ V → d A → 1 .

(c) Encontre uma expressão para V → d A → 2 .

(d) Encontre uma expressão para V → ( V → d A → 2 ) .

(e) Avalie ∫ V → V → d A → 2 .

Passo 1

Nesse problema, temos um campo de velocidade e a geometria do volume de controle. Tudo que precisamos é encontrar as integrais de superfície. Para isso, usaremos as seguinte expressões:

d A → 1 = w d z j ^ - w d y k ^ = d z j ^ - d y k ^

d A → 2 = - w d y k ^ = - d y k ^

V → = a j ^ + b y k ^ = ( 10 j ^ + 5 y k ^ )

Passo 2

Para a letra (a), devemos encontrar uma expressão para V → d A → 1 . Substituimos as

expressões do passo 1:

= 10 j ^ + 5 y k ^ d z j ^ - d y k ^

Logo, V → d A → 1 = 10 d z - 5 y d y .

Para a letra (b), vamos avaliar a expressão ∫ V → d A → 1 :

∫ V → d A → 1 = ∫ 0 1 10 d z - ∫ 0 1 5 y d y = 10 z 0 1 - 5 y 2 2 0 1 = 7,5

Para a letra (c), devemos encontrar uma expressão para V → d A → 2 . Substituimos as

expressões do passo 1:

= 10 j ^ + 5 y k ^ - d y k ^

Logo, V → d A → 2 = 10 d z - 5 y d y = - 5 y d y .

Para a letra (d), precisamos de uma expressão para V → ( V → d A → 2 ) :

V → V → d A → 2 = - 10 j ^ + 5 y k ^ 5 y d y

E, por sim, para a letra (e), avaliaremos a integral ∫ V → V → d A → 2 :

  ∫ V → V → d A → 2 = - ∫ 0 1 10 j ^ + 5 y k ^ 5 y d y

- 25 y 2 0 1       j ^ - 25 3 y 3 0 1     k ^ = - 25 j ^ - 8,33   k ^

Resposta

  1. V → d A → 1 = 10 d z - 5 y d y
  2. 7,5
  3. - 5 y d y
  4. V → V → d A → 2 = - 10 j ^ + 5 y k ^ 5 y d y
  5. - 25 j ^ - 8,33   k ^
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