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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 116

Repita a análise para o anemômetro sem atrito do Problema 9.106, porém agora baseie os cálculos do torque no modelo mais realista de que o torque médio é obtido pela integração, sobre um giro completo, do torque instantâneo gerado por taça (isto é, conforme a orientação da taça para o vento varia).

Passo 1

Calculando a área dos copos usando a relação:

A = π D 2 4

Sendo:

D = 50   m m = 0,05   m .

Temos:

A = π ⋅ 0,05 2 4 = 1,96 x 10 - 3   m 2

Obtemos os valores do coeficiente de arrasto pela Tabela 9.3:

C D a b e r t u r a = 1,42

C D s a í d a = 0,38

Passo 2

Calculando o componente normal da velocidade:

V n = V c o s   θ - ω R

Sendo que V  é a velocidade do vento.

À medida que os copos giram, a velocidade relativa é positiva ou negativa.

Desse modo, a equação da componente normal da velocidade passa a ser

θ C = acos ⁡ ω R V

Para:

0 < θ < θ c → V n > 0   e   C D a b e r t u r a

θ c < θ < 2 π - θ c → V n < 0   e   C D s a í d a

θ c < θ < 2 π → V n > 0   e   C D = C D a b e r t u r a

Passo 3

Escrevendo a equação para o torque:

T = F D ⋅ R = 1 2 ρ A V n 2 C D R

Escrevendo a equação para o torque médio:

T m é d i o = 1 2 π ∫ 0 2 π T d θ = 1 π ∫ 0 π T d θ

T m é d i o = 1 π ∫ 0 π 1 2 ρ A V n 2 C D a b e r t u r a R d θ - 1 π ∫ 0 π 1 2 ρ A V n 2 C D s a í d a R d θ

Substituindo o valor de  V n na equação:

T m é d i o = 1 π ∫ 0 θ c 1 2 ρ A V c o s   θ - ω R 2 C D a b e r t u r a R d θ - 1 π ∫ θ c π 1 2 ρ A V c o s   θ - ω R 2 C D s a í d a R d θ

Como k = V ω :

T m é d i o = 1 π ∫ 0 θ c 1 2 ρ A k   c o s   θ - R 2 C D a b e r t u r a R d θ - 1 π ∫ θ c π 1 2 ρ A k   c o s   θ - R 2 C D s a í d a R d θ

Integrando o termo:

∫ k cos ⁡ θ - R 2 d θ = k 2 1 2 cos ⁡ θ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ  

Considerando k 2 1 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ  como  f ( θ ) .

Temos:

T m é d i o = ρ A R 2 π C D a b e r t u r a f θ - C D s a í d a f π - f θ

Para o estado estacionário, o torque exercido por cada copo é zero.

Então:

C D a b e r t u r a f θ - C D s a í d a f π - f θ = 0

f θ = C D s a í d a C D a b e r t u r a + C D s a í d a f ( π )

Voltando f θ = k 2 1 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ :

k 2 1 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ = C D s a í d a C D a b e r t u r a + C D s a í d a f ( π )

Substituindo θ = cos - 1 ⁡ ω R V = cos - 1 ⁡ R k :

k 2 1 2 R k sen ⁡ cos - 1 ⁡ R k + 1 2 cos - 1 ⁡ R k - 2 k R   s e n   cos - 1 ⁡ R k + R 2 cos - 1 ⁡ R k = C D s a í d a C D a b e r t u r a + C D s a í d a ⋅ k 2 π 2 + R 2 π

Passo 4

Sendo:

R = 80   m m = 0,08   m ;

C D a b e r t u r a = 1,42 ;

C D s a í d a = 0,38 .

Temos:

k 2 1 2 0,08 k sen ⁡ cos - 1 ⁡ 0,08 k + 1 2 cos - 1 ⁡ 0,08 k - 0,16 k   s e n   cos - 1 ⁡ 0,08 k + 0,08 2 cos - 1 ⁡ 0,08 k = 0,38 1,42 + 0,38 ⋅ k 2 π 2 + 0,08 2 π

Resolvendo a equação usando os softwares para obter o valor de k :

k = 0,30   m

k = 0,114   k m h / r p m

Portanto, a constante de calibração é 0,114   k m h / r p m .

Resposta

k = 0,114   k m h / r p m

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