Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 111
Um balão de ar quente deve ser projetado para suportar o cesto, as cordas e uma pessoa, totalizando um peso de 1.300 N. O material do balão tem uma massa de 60 g/m2. O ar ambiente está a 25°C e 1 atm. O ar quente dentro do balão está a 70°C e 1 atm. Qual o diâmetro mínimo de um balão esférico que suportará exatamente o peso total? Despreze o tamanho da abertura de entrada de ar quente.
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.
Nessa questão temos um balão de ar quente que deve suportar um peso de . O enunciado nos afirma que o ar ambiente está a e e o ar quente dentro do balão está a e.
A questão pede que a gente encontre o diâmetro mínimo para que o balão esférico suporte o peso total necessitado.
Pra resolver a questão, precisamos lembrar apenas uma coisa: uma das leis de Arquimedes: “Um corpo flutuante desloca seu próprio peso no fluido em que flutua”. Ou seja, o empuxo agindo em um corpo flutuante é igual ao seu peso.
No entanto, para essa questão, temos uma particularidade: par calcular o empuxo, teremos que encontrar a diferença entre a densidade do ar quente e do ar a temperatura ambiente, .
Teremos, então, a seguinte equação:
Sendo o volume de ar deslocado, que, neste caso, é o volume total do balão, que é calculado como uma esfera.
Nos próximos passos, eu ou te ensinar a calcular essa diferença na densidade e a achar o diâmetro mínimo necessário! Vem comigo!
Passo 2
Para achar as densidades, devemos usar a boa e velha equação dos gases ideais:
Sendo , e a temperatura do ar em K.
Para o ar a ():
Para o ar a ():
Passo 3
Agora podemos encontrar o volume do balão a partir da equação que a gente viu no Passo 1:
Para descobrir o diâmetro mínimo do balão esférico que suportará esse o peso, basta lembrar que o balão é esférico:
Pronto, matamos a questão juntos!
Resposta
O diâmetro mínimo de um balão esférico que suportará exatamente o peso de é