Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 82
A barragem na Figura P2.82 é um quarto de círculo com largura de 50 m. Determine os componentes horizontal e vertical da força hidrostática contra a barragem e o ponto CP em que a resultante atinge a barragem.
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.
Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma barragem no formato de um quarto de círculo, com um raio de e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) de .
A questão quer da gente a distância do ponto do Centro de Pressão (CP) com relação à superfície livre onde a força hidrostática atinge a barragem. Então, a gente tem que entender quais forças estão agindo nela. Pra isso, vamos olhar esse esquema aí embaixo:
Como vocês podem perceber pela figura aí em cima, pra resolver a questão temos que dividir a resultante da força hidrostática em duas componentes: uma horizontal () e uma vertical ().
Nos passos seguintes, vamos descobrir como calcular cada uma das componentes das forças hidrostáticas e a calcular qual é o ponto CP onde ela está aplicada.
Então, vamo lá resolver essa questão juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a componente horizontal . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:
Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base e altura . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:
Sendo: o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 ; a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e a área do retângulo projetado.
Dessa forma, temos:
Além disso, devemos calcular a linha de aplicação da componente horizontal da força, que podemos chamar de . Pra isso, vamos utilizar a equação abaixo:
Sendo: o ângulo entre a projeção e a horizontal, que, por definição, é 90°; e o momento de inércia para essa direção.
O momento de inércia de um retângulo, o próprio livro define na página 92 como :
Sendo: a largura do retângulo , ou seja, ; e a altura do retângulo, que nesse caso é 20 m. Logo:
Calculando então a linha de aplicação, temos:
Passo 3
Agora vamos calcular a componente vertical . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água acima da barragem e é dada pela equação:
Sendo o volume da água acima da comporta no formato de um quarto de círculo. Sendo assim, temos:
Pra calcular a linha de aplicação para a componente vertical, basta ir novamente na página 92 e usar a mesma distância do centroide para um semi-círculo. Ou seja, a linha de aplicação pode ser calculada como:
Passo 4
E pra finalizar a questão, iremos calcular as coordenadas do ponto CP em relação à superfície livre.
Primeiro, com as duas componentes e encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular uma resultante a partir do módulo dessas componentes:
Podemos, então, representar essa resultante com a imagem:
Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo entre e :
Agora que a gente já tem esse ângulo, podemos usar relações parecidas considerando as distâncias de aplicação das componentes da força e o raio do quarto de círculo para obter o ponto CP.
Sejam a coordenada horizontal e a distância vertical (a partir da superfície livre) de CP. Podemos calcula-las como:
Pronto, matamos a questão juntos!
Resposta
As componentes vertical e horizontal da força hidrostática são, respectivamente, e .
O ponto CP está localizado a da superfície da água e a à direita do quarto de círculo.