A comporta BC em forma de um quarto de círculo da Figura P2.86 é articulada em C. Encontre a força horizontal P necessária para manter a comporta parada. Despreze o peso da comporta.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.

Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos uma comporta no formato de um quarto de círculo, com um raio de 2   m e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) não especificada que vamos chamar de b .

Essa comporta tem um ponto articulado C , que não pode se mover. Devemos descobrir, então, a força P necessária que seja aplicada na barragem para que o ponto C não se mova, desprezando o peso da comporta.

Para isso, devemos descobrir as componentes horizontal e vertical da força hidrostática agindo, respectivamente F H e F V , como demonstra a imagem abaixo:

Nos passos seguintes, vamos descobrir como calcular cada uma das componentes das forças hidrostáticas, suas linhas de aplicação e, no fim, fazer um balanço de momento para descobrir qual a força P .

Então, vamo lá resolver essa questão juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal F H . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base b e altura 2   m . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

F H =   γ h C G A p r o j

Sendo: γ o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 N m 3 ; h C G a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e A p r o j a área do retângulo projetado.

Como não há definição do valor de b no enunciado, vãos assumi-lo como sendo 1   m .

Dessa forma, temos:

F H = 9790   N m 3 2 2   m   2   m × 1   m = 19.580   N  

Além disso, devemos calcular a linha de aplicação da componente horizontal da força com relação ao centroide, que podemos chamar de l H , C G . Pra isso, vamos utilizar a equação abaixo:

l H , C G = h C G + I x x s e n θ h C G A p r o j

Sendo: θ o ângulo entre a projeção e a horizontal, que, por definição, é 90°; e I x x o momento de inércia para essa direção.

O momento de inércia I x x de um retângulo, o próprio livro define na página 92 como :

I x x = b L 3 12

Sendo: b a largura do retângulo , ou seja, 1   m ; e L a altura do retângulo, que nesse caso é 2   m . Logo:

I x x = b L 3 12 = 1   m 2   m ³ 12 = 0,667   m 4

Calculando então a linha de aplicação com relação ao centroide, temos:

l H , C G = 1   m + 0,667   m 4 s e n ( 90 ° )   1   m 1   m × 2   m = 1   m + 0,333   m = 1,333   m

Para calcular a linha de aplicação F H com relação a   C (que vamos chamar aqui simplesmente de l H ) devemos simplesmente subtrair l H , C G da distância de C com relação à superfície livre ( 2   m ):

l H = 2   m - 1,333   m = 0,667   m

Passo 3

Agora vamos calcular a componente vertical F V . Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir do peso da água acima da barragem e é dada pela equação:

F V =   γ V á g u a

Sendo V á g u a = o volume da água acima da comporta no formato de um quarto de círculo. Sendo assim, temos:

F V =   γ V á g u a = 9790   N m 3 π ( 2   m ) ² 4 × 1   m = 30.756   N  

Pra calcular a linha de aplicação para a componente vertical, basta ir novamente na página 92 e usar a mesma distância do centroide para um semi-círculo. Ou seja, a linha de aplicação l V pode ser calculada como:

l V = 4 R 3 π = 4 × ( 2   m ) 3 π = 0,849   m

Passo 4

E pra finalizar a questão, iremos fazer um balanço de momento em sentido horário para o ponto C , considerando que o sistema deve estar em equilíbrio para não se mover (ou seja, o somatório de momento deve ser zero):

∑ M C = 0 = P × l P - F V × l V - F H × l H

Sendo l P a distância de aplicação da força P com relação ao ponto C , que é de 2   m , como mostra a figura. Dessa forma:

P × 2   m - 30.756   N   × 0,849   m - 19.580   N   × 0,667   m = 0

P × 2   m = 39.172   N

P = 19.586   N

Pronto, resolvemos a questão juntos!

Resposta

A força necessária para manter a comporta parada é P = 19.586   N    

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