Um bloco espesso de alumínio inicialmente a 20   ° C é submetido a um fluxo de calor constante de 4000   W / m 2 por meio de um aquecedor de resistência elétrica cuja superfície superior é isolada. Determine quanto a temperatura da superfície do bloco aumentará depois de 30 minutos.

Passo 1

Vamos lá pessoal! A primeira coisa a se fazer é assumir hipóteses. Nessa questão temos como assumir que:

  • O bloco é suficientemente espesso para ser tratado como um sólido semi-infinito.
  • O bloco possui propriedades térmicas constantes. Isso quer dizer que a condutividade térmica k = 237   W / ( m . ° C ) e a difusividade do alumínio e α = 97,1 . 10 - 6   m 2 / s à temperatura ambiente são constantes.
  • Todo o fluxo de calor é absorvido pelo bloco.
  • Para que o resultado obtido seja a temperatura máxima, a perda de calor do bloco é desconsiderada.

Passo 2

Agora vamos para a análise do problema! Como dito no enunciado, este é um problema de condução transiente em meio semi-infinito sujeito a um constante fluxo de calor especificado na superfície e de valor igual a q s ˙ =   4000   W / m 2 . Portanto, a distribuição de temperatura em regime transiente unidimensional nesse caso é dada por:

T x , t -   T i =   q s ˙ k . 4 . α . t π . e x p x 2 4 . α . t - x . e r f c x 2 α . t

Passo 3

Sabemos, do enunciando, que bloco espesso de alumínio está inicialmente a uma temperatura T i = 20   ° C . Agora, vamos determinar a temperatura da superfície T s do bloco, ou seja, em x = 0 , após um período t = 30   m i n .   60   s 1   m i n = 1800   s . Sendo assim,

T x , t -   T i =   q s ˙ k . 4 . α . t π . e x p x 2 4 . α . t - x . e r f c x 2 α . t

T 0,1800 -   T i =   q s ˙ k . 4 . α . t π . e x p 0 - x . e r f c 0

Da tabela 4-4, temos que e r f c 0 = 1 , portanto:

T 0,1800 -   T i =   q s ˙ k . 4 . α . t π

Substituindo na equação os valores dados no enunciado, temos que:

T s = T 0,1800 = 28   ° C

Passo 4

Queremos saber quanto a temperatura da superfície do bloco aumentará depois de 30 minutos. Para isso, fazemos a variação de temperatura ∆ T abaixo:

∆ T =   T s -   T i

Resposta

Portanto, temos que o aumento da temperatura da superfície é:

∆ T =   T s -   T i = 8   ° C

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