Enunciado

Os bombeiros seguram um bocal na ponta de uma mangueira enquanto tentam apagar um incêndio. Se o diâmetro de saída do bocal é de 6   c m e a taxa de escoamento da água é de 5   m 3 / m i n , determine (a) a velocidade média de saída da água e (b) a força de resistência horizontal necessária para que os bombeiros segurem o bocal.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule primeiro a velocidade média V 2 da água que sai do bocal. Para calcular isso, vamos precisar usar a fórmula de vazão volumétrica V ˙ . A vazão volumétrica V ˙ é igual à velocidade média da água V 2 multiplicada pela área A 2 pela qual a água passa para sair do bocal. Como o enunciado nos informou V ˙ , podemos calcular V 2 através desse dado.

V ˙ = V 2 ⋅ A 2       ⟹       V 2 = V ˙ A 2

Mas falta saber calcular A 2 para acharmos V 2 . Como o enunciado diz que o diâmetro D 2 da área do bocal vale 6   c m , podemos supor que a área pela qual a água sai é circular. Por isso, a fórmula de A 2 é:

A 2 = π ⋅ D 2 2 4

Substituindo isso na equação da velocidade, achamos:

V 2 = V ˙ A 2       ⟹       V 2 = V ˙ π ⋅ D 2 2 4

Passo 2

Antes de substituir os dados na fórmula de V 2 para achar essa velocidade média, precisamos converter a vazão volumétrica de m 3 / m i n para m 3 / s , dividindo ela por 60 .

V ˙ = 5   m 3 m i n     ⟹       V ˙ = 0 , 0833   m 3 s

Além disso, precisamos converter o diâmetro D 2 de c m para m , dividindo ela por 100 .

D 2 = 6   c m       ⟹       D 2 = 0,06   m

V 2 = V ˙ π ⋅ D 2 2 4       ⟹       V 2 = 0 , 0833 π ⋅ 0,06 2 4       ⟹       V 2 = 29,5   m / s

Passo 3

Depois de calcular a velocidade média V 2 , o enunciado quer que a gente calcule a força horizontal F x que os bombeiros precisam fazer para manter o bocal parado. O primeiro passo para achar esse valor é escolhendo um volume de controle. Como queremos informações sobre o bocal, escolhemos um volume de controle que engloba o bocal e parte da mangueira.

V 1 é a velocidade do jato de líquido entrando no volume de controle. Supomos que essa velocidade é vertical, considerando que a mangueira dobra em 90 ° . Isso vai facilitar as contas. Esse escoamento de líquido saindo do bocal exerce uma força F 2 sobre o volume de controle por conta da pressão manométrica P 2 do jato de água. No entanto, como a água sai do bocal para a atmosfera, sua pressão é igual à pressão atmosférica. Ou seja, a pressão manométrica P 2 vale zero.

P 2 = 0   P a

Isso quer dizer que a força F 2 vale zero também, porque F 2 é a multiplicação entre A 2 e P 2 .

O líquido entrando verticalmente pela mangueira exerce uma força vertical F 1 sobre o volume de controle.

No próximo passo vamos descobrir como calcular F x .

Passo 4

Agora que escolhemos o volume de controle, podemos usar a segunda lei de Newton nesse volume de controle. Para simplificar, o escoamento do volume de controle é considerado como sendo um escoamento em regime permanente. Como estamos interessados apenas nas forças horizontais (ao longo do eixo x ), usaremos apenas a equação de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) relativa ao eixo x apenas.

Além disso, o volume de controle possui apenas uma corrente de fluido entrando horizontalmente e uma corrente saindo horizontalmente. Por causa de todos esses fatores, podemos usar a equação 6 - 27 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, m ˙ é a vazão mássica do jato entrando e saindo do volume de controle. β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. V 1 , x é a velocidade do jato no eixo x que entra no volume de controle. V 2 , x é a velocidade do jato no eixo x que sai do volume de controle.

Esta é a equação de quantidade de movimento no eixo x (segunda lei de Newton) para um escoamento em regime permanente, com uma corrente entrando e outra saindo. No próximo passo descobriremos quanto vale cada termo dessa fórmula.

Passo 5

As forças horizontais exercidas sobre o volume de controle são F 2 e F x . Só que F 2 vale zero. Por isso, a força resultante é igual a F x .

∑ F x = F x

Se nós considerarmos que o escoamento é incompressível (com densidade ρ constante), podemos calcular m ˙ pela equação abaixo.

m ˙ = ρ ⋅ V ˙

A densidade ρ da água na temperatura ambiente e a pressão atmosférica pode ser considerada igual a:

ρ = 1000   k g / m 3

Como a velocidade V 1 é vertical, sua componente horizontal V 1 , x vale:

V 1 , x = 0   m / s

O fator de correção β 2 para o escoamento de água saindo do volume de controle vale 1 , porque esse escoamento é um jato.

Substituindo todos esses dados na segunda lei de Newton, achamos:

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x       ⟹       F x = ρ ⋅ V ˙ ⋅ 1 ⋅ V 2 - β 1 ⋅ 0

F x = ρ ⋅ V ˙ ⋅ V 2

Passo 6

Substituindo os dados na equação de F x , achamos seu valor.

F x = ρ ⋅ V ˙ ⋅ V 2       ⟹       F x = 1000 ⋅ 0 , 0833 ⋅ 29,5       ⟹       F x = 2457   N

Resposta

a   V 2 = 29,5   m / s

b   F x = 2457   N

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