Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 28
Um jato d’água horizontal com de diâmetro e velocidade de é imposto normalmente a uma placa vertical de massa de . A placa é mantida em um trilho quase sem atrito e inicialmente está fixa. Quando o jato atinge a placa, esta começa a se mover na direção do jato. A água sempre se espalha no plano da placa que se afasta. Determine (a) a aceleração da placa quando o jato a atinge (tempo = 0), (b) o tempo necessário para que a placa atinja uma velocidade de e (c) a velocidade da placa após o jato atingir a placa pela primeira vez. Suponha que a velocidade do jato com relação à placa permaneça constante.
Passo 1
O primeiro passo para resolver essa questão é escolher qual é o volume de controle. O enunciado quer saber primeiro sobre a aceleração da placa, mas nós vamos supor que o volume de controle é a região do espaço que engloba a parte do jato colidindo com a placa. A figura abaixo mostra o volume de controle.
é a velocidade do jato de água que atravessa o volume de controle em relação ao chão e é a velocidade da placa. Quando o enunciado diz que a placa é mantida no trilho inicialmente fixa, ele quer dizer que vale zero no instante inicial (tempo = 0).
é a força que a placa exerce sobre o jato. é a massa da placa. é o diâmetro do jato.
O volume de controle se movimenta junto com a placa. Por isso, a velocidade do volume de controle é igual à velocidade da placa .
Passo 2
Agora que escolhemos o volume de controle, podemos usar a segunda lei de Newton nesse volume de controle. Como a velocidade do jato é constante, o escoamento do volume de controle é considerado como sendo um escoamento em regime permanente.
Como estamos interessados apenas na sua aceleração horizontal (ao longo do eixo ), usaremos apenas a equação de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) relativa ao eixo apenas. Além disso, o volume de controle possui apenas uma corrente de fluido entrando horizontalmente nele. Por causa de todos esses fatores, podemos usar a equação .
onde é o somatório das forças horizontais (no eixo ) sobre o volume de controle, é a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle. é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. é a velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle móvel no eixo . é a velocidade relativa da água que colidiu com a placa no eixo .
Esta é a equação de quantidade de movimento no eixo (segunda lei de Newton) para um escoamento em regime permanente, com uma corrente entrando e outra saindo. No próximo passo descobriremos quanto vale cada termo dessa fórmula.
Passo 3
Pela figura acima, a força parece ser a única força sobre o volume de controle no eixo . Mas você poderia se perguntar se a força da pressão do jato e a força da pressão atmosférica também não contam.
Elas existem, mas a pressão de um jato na atmosfera é muito próxima da pressão atmosférica . Logo, a força da pressão do jato se cancela com a força da pressão atmosférica. Por causa disso, vale:
O sinal de menos está presente na fórmula, porque a força está no sentido negativo de .
Além disso, os fatores de correção e valem para jatos!
é a componente horizontal da velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle. Logo, é a velocidade do jato em relação ao chão menos a velocidade do volume de controle em relação ao chão .
é a componente horizontal da velocidade relativa da água que sai do volume de controle. Como a água sai do volume de controle apenas com velocidades verticais, vale zero.
Por fim, a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle vale:
onde é a massa específica da água e é a área da superfície de controle através da qual o jato passou. Em questões de mecânica dos fluidos, quando o enunciado não informa a densidade da água líquida a na temperatura ambiente, podemos considerar que ela vale:
Como o enunciado nos informou o diâmetro do jato, podemos reescrever a fórmula da vazão acima.
Substituindo a equação de na fórmula de encontramos:
Passo 4
Substituindo todos esses dados na segunda lei, encontramos uma fórmula para a força .
Como a placa exerce uma força sobre o jato, o jato exerce uma reação igual sobre a placa. Isso acontece por causa da terceira lei de Newton (ação e reação). Como os trilhos não têm atrito, a força total exercida sobre a placa é igual à essa força de reação do jato . Aplicando a segunda lei de Newton sobre a placa, encontramos:
é a massa da placa.
Passo 5
Substituindo os dados na fórmula acima, encontramos o valor de .
Antes de fazer isso, precisamos converter o diâmetro do jato de centímetro para metro .
Passo 6
Depois de calcular a aceleração da placa, o enunciado quer saber o tempo necessário para que a placa atinja uma velocidade de . Podemos fazer esse cálculo de forma simplificada, se a gente considerar que nos instantes iniciais, a aceleração da placa permanece constante. Fazendo essa consideração, podemos calcular o tempo através da fórmula de velocidade usada no movimento uniformemente variado (M.U.V.).
Substituindo os dados na fórmula acima, encontramos .
Passo 7
Por último, o enunciado da questão quer que a gente calcule a velocidade da placa após o jato atingir a placa pela primeira vez. Para fazer esse cálculo, podemos usar a mesma simplificação que acabamos de aplicar no cálculo de . Se a gente considerar que nos instantes iniciais, a aceleração da placa permanece constante, podemos calcular através da fórmula de velocidade usada no movimento uniformemente variado (M.U.V.).
Substituindo os dados na fórmula acima, encontramos .