Enunciado

Um jato d’água horizontal com 5   c m de diâmetro e velocidade de 18   m / s é imposto normalmente a uma placa vertical de massa de 1000   k g . A placa é mantida em um trilho quase sem atrito e inicialmente está fixa. Quando o jato atinge a placa, esta começa a se mover na direção do jato. A água sempre se espalha no plano da placa que se afasta. Determine (a) a aceleração da placa quando o jato a atinge (tempo = 0), (b) o tempo necessário para que a placa atinja uma velocidade de 9   m / s e (c) a velocidade da placa 20   s após o jato atingir a placa pela primeira vez. Suponha que a velocidade do jato com relação à placa permaneça constante.

Passo 1

O primeiro passo para resolver essa questão é escolher qual é o volume de controle. O enunciado quer saber primeiro sobre a aceleração a p da placa, mas nós vamos supor que o volume de controle é a região do espaço que engloba a parte do jato colidindo com a placa. A figura abaixo mostra o volume de controle.

V j a t o é a velocidade do jato de água que atravessa o volume de controle em relação ao chão e V p é a velocidade da placa. Quando o enunciado diz que a placa é mantida no trilho inicialmente fixa, ele quer dizer que V p vale zero no instante inicial (tempo = 0).

V p t = 0 = 0   m / s

F → é a força que a placa exerce sobre o jato. m p é a massa da placa. D é o diâmetro do jato.

O volume de controle se movimenta junto com a placa. Por isso, a velocidade do volume de controle é igual à velocidade da placa V p .

Passo 2

Agora que escolhemos o volume de controle, podemos usar a segunda lei de Newton nesse volume de controle. Como a velocidade do jato é constante, o escoamento do volume de controle é considerado como sendo um escoamento em regime permanente.

Como estamos interessados apenas na sua aceleração horizontal (ao longo do eixo x ), usaremos apenas a equação de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) relativa ao eixo x apenas. Além disso, o volume de controle possui apenas uma corrente de fluido entrando horizontalmente nele. Por causa de todos esses fatores, podemos usar a equação 6 - 27 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, m ˙ é a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle. β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. V 1 , x é a velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle móvel no eixo x . V 2 , x é a velocidade relativa da água que colidiu com a placa no eixo x .

Esta é a equação de quantidade de movimento no eixo x (segunda lei de Newton) para um escoamento em regime permanente, com uma corrente entrando e outra saindo. No próximo passo descobriremos quanto vale cada termo dessa fórmula.

Passo 3

Pela figura acima, a força F → parece ser a única força sobre o volume de controle no eixo x . Mas você poderia se perguntar se a força da pressão P do jato e a força da pressão atmosférica P a t m também não contam.

Elas existem, mas a pressão de um jato na atmosfera é muito próxima da pressão atmosférica P = P a t m . Logo, a força da pressão do jato se cancela com a força da pressão atmosférica. Por causa disso, ∑ F x vale:

∑ F x = - F

O sinal de menos está presente na fórmula, porque a força está no sentido negativo de x .

Além disso, os fatores de correção β 1 e β 2 valem 1 para jatos!

β 1 = 1

β 2 = 1

V 1 , x é a componente horizontal da velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle. Logo, V 1 , x é a velocidade do jato em relação ao chão V j a t o menos a velocidade do volume de controle em relação ao chão V p .

V 1 , x = V j a t o - V p

V 2 , x é a componente horizontal da velocidade relativa da água que sai do volume de controle. Como a água sai do volume de controle apenas com velocidades verticais, V 2 , x vale zero.

V 2 , x = 0

Por fim, a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle m ˙ vale:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A

onde ρ é a massa específica da água e A é a área da superfície de controle através da qual o jato passou. Em questões de mecânica dos fluidos, quando o enunciado não informa a densidade ρ da água líquida a na temperatura ambiente, podemos considerar que ela vale:

ρ = 1000   k g m 3

Como o enunciado nos informou o diâmetro D do jato, podemos reescrever a fórmula da vazão acima.

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A       ⟹         m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ π ⋅ D 2 4

Substituindo a equação de V 1 , x na fórmula de m ˙ encontramos:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ V j a t o - V p ⋅ π ⋅ D 2 4

Passo 4

Substituindo todos esses dados na segunda lei, encontramos uma fórmula para a força F .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

- F = ρ ⋅ V j a t o - V p ⋅ π ⋅ D 2 4 ⋅ 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ V j a t o - V p

F =   ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

Como a placa exerce uma força F sobre o jato, o jato exerce uma reação igual sobre a placa. Isso acontece por causa da terceira lei de Newton (ação e reação). Como os trilhos não têm atrito, a força total exercida sobre a placa é igual à essa força de reação do jato F . Aplicando a segunda lei de Newton sobre a placa, encontramos:

F = m p ⋅ a p       ⟹       a p = F m p       ⟹       a p = ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 m p

m p é a massa da placa.

Passo 5

Substituindo os dados na fórmula acima, encontramos o valor de a p .

Antes de fazer isso, precisamos converter o diâmetro D do jato de centímetro c m para metro m .

D = 5   c m       ⟹       D = 0,05   m

a p = ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 m p       ⟹       a p = 1000 ⋅ 18 - 0 2 ⋅ π ⋅ 0,05 2 4 1000

a p = 0,636   m / s 2

Passo 6

Depois de calcular a aceleração da placa, o enunciado quer saber o tempo t necessário para que a placa atinja uma velocidade de 9   m / s . Podemos fazer esse cálculo de forma simplificada, se a gente considerar que nos instantes iniciais, a aceleração da placa a p permanece constante. Fazendo essa consideração, podemos calcular o tempo t através da fórmula de velocidade usada no movimento uniformemente variado (M.U.V.).

V p = V p t = 0 + a p ⋅ t       ⟹       t = V p - V p t = 0 a p

Substituindo os dados na fórmula acima, encontramos t .

t = V p - V p t = 0 a p       ⟹       t = 9 - 0 0,636       ⟹       t = 14,2   s

Passo 7

Por último, o enunciado da questão quer que a gente calcule a velocidade da placa 20   s após o jato atingir a placa pela primeira vez. Para fazer esse cálculo, podemos usar a mesma simplificação que acabamos de aplicar no cálculo de t . Se a gente considerar que nos instantes iniciais, a aceleração da placa a p permanece constante, podemos calcular V p t = 20   s através da fórmula de velocidade usada no movimento uniformemente variado (M.U.V.).

V p t = 20   s = V p t = 0 + a p ⋅ t

Substituindo os dados na fórmula acima, encontramos V p t = 20   s .

V p t = 20   s = V p t = 0 + a p ⋅ t       ⟹       V p t = 20   s = 0 + 0,636 ⋅ 20

V p t = 20   s = 12,7   m / s

Resposta

a   a p = 0,636   m / s 2

b     t = 14,2   s

c   V p t = 20   s = 12,7   m / s

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