Um cabo elétrico, de raio e condutividade térmica , encontra-se coberto por uma camada isolante cuja superfície externa tem raio e troca calor por convecção e por radiação com o ar circundante e a vizinhança, respectivamente. Quando uma corrente elétrica passa pelo cabo, há geração de energia térmica em seu interior a uma taxa volumétrica .

1. Escreva as formas da equação da difusão térmica, em regime estacionário, para o isolamento e para o cabo. Verifique se essas equações são satisfeitas pelas seguintes distribuições de temperaturas:



Esboce a distribuição de temperaturas, , no cabo e na camada de isolante, identificando as principais características.

2. Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução, por unidade de comprimento, através do isolamento pode ser representada por



Usando um balanço de energia em uma superfície de controle envolvendo o cabo, obtenha uma expressão alternativa para , escrevendo seu resultado em termos de e .

3. Fazendo um balanço de energia em uma superfície de controle colocada ao redor da superfície externa da camada isolante, obtenha uma expressão na qual possa ser determinada em função de , , , , e .
4. Considere condições nas quais uma corrente elétrica de atravessa um cabo cuja resistência elétrica por unidade de comprimento é , com um raio e uma condutividade térmica . Para ; ; ; ; e , calcule as temperaturas superficiais, e , bem como a temperatura na linha de centro do cabo.
5. Mantendo todas as demais condições, calcule e represente graficamente , e como funções de para .

Bom, vamos com pelo começo… Letra a!

Ela ta pedindo pra gente escrever a equação da difusão térmica para o isolamento e para o cabo… Vamos começar pelo isolamento, assumindo estado estacionário… E ver se a distribuição de temperaturas dada satisfaz ela:

Como nossa expressão dentro do colchete não depende de , então sim! satisfaz a equação!

Agora vamos fazer o mesmo para o cabo!

Nossa expressão dentro do parêntese não depende de , então sim! satisfaz a equação!

Além disso a letra a pediu pra gente identificar as características da temperatura …

Bom, temos quatro pontos diferentes durante a curva para avaliar…

O primeiro é quando o gradiente é zero, pois ainda não sofreu alteração de temperatura, depois temos que quanto maior a temperatura também maior será o raio, na terceira parte temos uma descontinuidade e imediatamente depois temos uma queda de temperatura com aumento do raio… Show?

Agora vamos seguir para a letra b!

No caso da letra b, o enunciado pede pra gente mostrar que, partindo da lei de Fourier, a taxa de transferência de calor por condução é dada pela equação que ele nos apresentou… Bom, vamos testar!

A lei de Fourier diz o seguinte:

Substituindo nossa distribuição de temperatura:

Opa! Conseguimos mostrar o que a questão queria… Mas ainda não acabou por aí… A letra b, ainda pede para fazer um balanço de energia, pra gente conseguir uma expressão alternativa para …

Bom, o nosso balanço de energia ficaria assim:

Conseguimos! Acabamos com a letra b!

Na letra c, precisamos fazer um balanço de energia em uma superfície de controle coincidente com a superfície externa da camada de isolamento… Vamos lá!

E para deixar em função das variáveis que o enunciado pediu, precisamos substituir a área e o que achamos no passo anterior!

Prontinho! A letra c já foi!

Agora vamos de letra d…

Ela nos dá vários dados e pede pra gente calcular as temperaturas no reator e na superfície externa do isolamento, ou seja, ela quer o e o !

Pra fazer isso precisaremos usar as equações que desenvolvemos até agora, beleza?

Vamos começar usando a equação do passo 4 para encontrar o nosso :

ou

Show! Agora podemos substituir o valor de na equação da primeira parte do passo 4:

ou

Agora só falta o … Vamos nessa!

Uhul! Só a letra e agora!

A letra e, quer que a gente faça um gráfico de ou em função de , com a seguinte condição:

Sendo a curva azul correspondente a parte interna e a curva verde a parte externa.

Show!! Arrasamos!!