Uma mistura quimicamente reativa é armazenada em um recipiente esférico com paredes finas, de raio . A reação exotérmica gera calor a uma taxa volumétrica uniforme, porém dependente da temperatura na forma , sendo , e a temperatura da mistura em kelvins. O recipiente é envolto por uma camada de material isolante que tem raio externo , condutividade térmica e emissividade . A superfície externa do isolamento troca calor por convecção e radiação com o ar adjacente e uma grande vizinhança, respectivamente.

1. Escreva a forma no estado estacionário da equação da difusão térmica para o isolante. Verifique se essa equação é satisfeita pela seguinte distribuição de temperaturas



Esboce a distribuição de temperaturas, , identificando as suas principais características.

2. Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser representada por



Fazendo um balanço de energia em uma superfície de controle envolvendo o recipiente, obtenha uma expressão alternativa para , apresentando seu resultado em termos de e .

3. Fazendo um balanço de energia em uma superfície de controle coincidente com a superfície externa da camada de isolamento, obtenha uma expressão na qual possa ser determinada em função de , , , , e .
4. O engenheiro de processos deseja manter a temperatura no reator em em condições nas quais ; ; ; ; e . Quais são as temperaturas reais no reator e na superfície externa do isolamento térmico, ?
5. Calcule e represente graficamente a variação de em função de para . O engenheiro está preocupado com eventuais acidentes por queimadura que possam ocorrer com o pessoal que entrar em contato com a superfície exposta do isolante térmico. O aumento da espessura da camada de isolamento térmico é uma solução prática para manter ? Que outro parâmetro poderia ser alterado para reduzir o valor de ?

Bom, vamos com pelo começo… Letra a!

Ela ta pedindo pra gente escrever a equação da difusão térmica para o isolante, assumindo estado estacionário… E ver se a distribuição de temperaturas dada satisfaz ela, vamos ver então!

Como nossa expressão dentro do colchete não depende de , então sim! satisfaz a equação!

Além disso a letra pediu pra gente identificar as características da temperatura …

Bom, a primeira coisa que podemos notar é que , beleza? E além disso quanto maior o raio menor será nossa temperatura, show?

Agora vamos seguir para a letra b!

No caso da letra b, o enunciado pede pra gente mostrar que, partindo da lei de Fourier, a taxa de transferência de calor por condução é dada pela equação que ele nos apresentou… Bom, vamos testar!

A lei de Fourier diz o seguinte:

Substituindo nossa distribuição de temperatura:

Opa! Conseguimos mostrar o que ele queria… Mas ainda não acabou por aí… A letra b, ainda pede para fazer um balanço de energia, pra gente conseguir uma expressão alternativa para …

Bom, o nosso balanço de energia ficaria assim:

Conseguimos! Acabamos com a letra b!

Na letra c, precisamos fazer um balanço de energia em uma superfície de controle coincidente com a superfície externa da camada de isolamento… Vamos lá!

E para deixar em função das variáveis que o enunciado pediu, precisamos substituir a área …

Prontinho! A letra c já foi!

Agora vamos de letra d…

Ela nos dá vários dados e pede pra gente calcular as temperaturas no reator e na superfície externa do isolamento, ou seja, ela quer o e o !

Pra fazer isso precisaremos juntar as equações que desenvolvemos até agora e montar um sistema, beleza?

Vamos começar com a equação da taxa de condução do isolamento, que encontramos lá na primeira parte do passo 3:

Agora a equação da segunda parte do passo 3:

E por último a equação final do nosso passo 4:

Agora podemos substituir nossa segunda equação na terceira e ficar com:

E montar um sistema com a primeira equação, onde vamos ter duas equações e duas incógnitas… Dessa forma a gente acha que:

e

Agora só falta a última letrinhas… Vamos nessa!

A letra e, quer que a gente faça um gráfico de em função de , com a seguinte condição:

Além disso, a questão pergunta também qual parâmetro poderia ser alterado para diminuir nosso … Bom, se a gente aumenta nosso conseguiremos fazer isso, podemos comprovar observando a curva verde no nosso gráfico!