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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 25

Um fluido incompressível escoa no anel formado entre dois tubos concêntricos de seção circular. O escoamento é laminar e o raio externo do tubo menor é R 1 , enquanto o raio interno do maior é R 2 .

  1. Verificar se a equação do diagrama de velocidade é dada por:

    2. v v m = 2 R 2 2 - r 2 - 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r R 2 2 + R 1 2 - 2 r m á x 2

    Onde

    r m á x = R 2 2 - R 1 2 2 ln ⁡ R 2 R 1

    Sendo r uma coordenada polar e r m á x a coordenada onde ocorre a velocidade máxima

  2. Sendo R 1 = 10   c m , R 2 = 10,2   c m , determinar a coordenada da velocidade máxima e, para uma vazão de 0,1 L/s   v m á x

Passo 1

Item A)

Para podermos analisar esse escoamento, precisaremos assumir o regime é permanente, o escoamento não é influenciado pela gravidade, e que o escoamento é normal à área. Essas condições implicam que:

  • A variação no tempo é zero para qualquer componente ∂ v → ∂ t = 0
  • Que o escoamento ocorre na horizontal ao longo de Z, desprezando a gravidade
  • A velocidade varia apenas na direção radial: ∂ v z ∂ z = ∂ v z ∂ θ = 0
  • Que as componentes v θ = 0 e v r = 0

Agora, vamos aplicar essas considerações nas equações de Navier-Stokes para coordenadas polares:

0 = - 1 ρ ∂ p ∂ z + ν ⋅ ∂ 2 v z ∂ r 2 + 1 r ∂ v z ∂ r

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a equação:

1 ρ ∂ p ∂ z = ν ⋅ ∂ 2 v z ∂ r 2 + 1 r ∂ v z ∂ r

1 μ ∂ p ∂ z = ∂ 2 v z ∂ r 2 + 1 r ∂ v z ∂ r

Pelas nossas considerações, as derivadas parciais são iguais as derivadas totais, já que v só depende de r ; e p só depende de z .

1 μ d p d z = d 2 v z d r 2 + 1 r d v z d r

Como o lado esquerdo é função apenas de z e o lado direito é função apenas de r , a única forma desta igualdade ser verdadeira é se ambos os lados forem iguais a uma mesma constante qualquer. Então, vamos dizer que:

1 μ d p d z = d 2 v z d r 2 + 1 r d v z d r = β

Logo:

d 2 v z d r 2 + 1 r d v z d r = β

Passo 3

Imagine agora a seguinte derivada:

1 x ⋅ d d x x ⋅ d y d x ⇒ R e s o l v e n d o   d 2 y d x 2 + 1 x d y d x

Percebeu?! Se na expressão acima trocarmos x e y por r e v z , chegaremos na equação do passo anterior. Vamos usar isso:

d 2 v z d r 2 + 1 r d v z d r = β

1 r ⋅ d d r r ⋅ d v z d r = β

Jogando o r   pro outro lado:

d d r r ⋅ d v z d r = β r

Integrando: r ⋅ d v z d r = β r 2 2 + C 1

Jogando o r   pro outro lado:

d v z d r = β r 2 + C 1 r

Integrando novamente termos:

v z = β r 2 4 + C 1 ln ⁡ r + C 2

Agora precisamos encontrar o valor das constantes C 1 e C 2

Passo 4

Perceba um detalhe, o ponto de máximo de uma função é quando a derivada dela é igual a zero. Ou seja, a velocidade máxima ocorre quando:

d v z d r = 0

E já sabemos que quando a velocidade é máxima, o valor de r   é:

r = r m á x

Aplicando:

0 = β r m á x 2 + C 1 r m á x

Resolvendo, encontramos o valor da constante.

C 1 = - β r m á x 2 2

Agora, substituindo na função original:

d v z d r = β r 2 + - β r m á x 2 2 ⋅ r

e

v z = β r 2 4 - β r m á x 2 2 ln ⁡ r + C 2

Passo 5

Este é um escoamento viscoso. E sabemos que um escoamento viscoso tem velocidade nula quando encostado às paredes. Ou seja,

q u a n d o   r = R 2 ,   e n t ã o ,   v = 0

Aplicando:

0 = β R 2 2 4 - β r m á x 2 2 ln ⁡ R 2 + C 2

C 2 = β r m á x 2 2 ln ⁡ R 2 - β R 2 2 4

Então, a equação de velocidade é:

v z = β r 2 4 - β r m á x 2 2 ln ⁡ r + β r m á x 2 2 ln ⁡ R 2 - β R 2 2 4

v z = β r 2 4 - β R 2 2 4 + β r m á x 2 2 ln ⁡ R 2 - β r m á x 2 2 ln ⁡ r

v z = β 4 r 2 - R 2 2 + β r m á x 2 2 ln ⁡ R 2 - ln ⁡ r

Chegamos em:

v z = β 4 r 2 - R 2 2 + 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r

Passo 6

Da mesma forma, a velocidade também é zero quando em contato com a parede do tubo interno.

q u a n d o   r = R 1 ,   e n t ã o ,   v = 0

Aplicando:

0 = β 4 R 1 2 - R 2 2 + 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 R 1

0 = R 1 2 - R 2 2 + 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 R 1

2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 R 1 = R 2 2 - R 1 2

r m á x 2 = R 2 2 - R 1 2 2 ln ⁡ R 2 R 1

Chegamos no valor de r m á x

r m a x = R 2 2 - R 1 2 2 ln ⁡ R 2 R 1

Passo 7

Para encontrar a velocidade média precisamos somar integralmente todas as velocidades e dividir pela área:

v m = 1 A ∫ A v x d A

A área é: A = π R 2 2 - R 1 2

E a derivada da área: d A = 2 π d r

v m = 1 π R 2 2 - R 1 2 ∫ R 1 R 2 β 4 r 2 - R 2 2 + 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r ⋅ 2 π r d r  

v m = β 2 R 2 2 - R 1 2 ∫ R 1 R 2 r 2 - R 2 2 + 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r ⋅ r d r  

Resolvendo a integral chegamos em:

v m = - β 8 R 2 2 + R 1 2 - 2 r m á x 2

Passo 8

Para terminar, vamos dividir a função da velocidade pela velocidade média:

v z v m = β 4 r 2 - R 2 2 + 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r - β 8 R 2 2 + R 1 2 - 2 r m á x 2

v z v m = - 2 r 2 - R 2 2 + 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r R 2 2 + R 1 2 - 2 r m á x 2

v z v m = 2 R 2 2 - r 2 - 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r R 2 2 + R 1 2 - 2 r m á x 2

Passo 9

Item B)

Aplicando só valores à função do raio:

r m a x = R 2 2 - R 1 2 2 ln ⁡ R 2 R 1 = 10,2 2 - 10 2 2 ln ⁡ 10,2 10 ⇒ r m á x = 10,1   c m

Utilizando a vazão, podemos encontrar a velocidade média:

Q = v m ⋅ A

v m = Q A = Q π R 2 2 - R 1 2 = 0,1 ⋅ 10 - 3 π 0,102 2 - 0,10 2 ⇒ v m = 0,079 m s

E calculamos a velocidade máxima:

v z = 2 v m R 2 2 - r 2 - 2 r m á x 2 ln ⁡ R 2 r R 2 2 + R 1 2 - 2 r m á x 2

v z = 2 ⋅ 0,079 ⋅ - 0,102 2 - 0,101 2 - 2 ⋅ 0,101 2 ⋅ ln ⁡ 0,102 0,101 0,102 2 + 0,10 2 - 2 ⋅ 0,101 2

v z = 0,156 m s

Resposta

r m á x = 10,1   c m

v z = 0,156 m s

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