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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 7

6.7 Considere o campo de escoamento dado por V → = A x   s e n   2 π ω t i ^ + A y   s e n   2 π ω t j ^ , em que A = 2   s - 1 e ω = 1   s - 1 . A massa específica do fluido é 2 kg/m³. Encontre expressões para a aceleração local, aceleração convectiva e aceleração total. Avalie no ponto (1,1), para t=0, 0,5 e 1 segundo. Avalie ∇ p neste mesmo ponto e instantes.

Passo 1

Primeiro vamos esclarecer que o gabarito vai ter sinal diferente, pois o campo usado na versão em inglês é V → = A x   s e n   2 π ω t i ^ - A y   s e n   2 π ω t j ^ . É só mais um errinho do pessoal da tradução

Para a aceleração local temos:

a → p , l o c a l = ∂ V → ∂ t

a → p , l o c a l = ∂ A x   s e n   2 π ω t i ^ + A y   s e n   2 π ω t j ^ ∂ t

a → p , l o c a l = 2 π ω A x cos ⁡ 2 π ω t i ^ + 2 π ω A y cos ⁡ 2 π ω t j

Para a aceleração convectiva temos:

a → p , c o n v e c = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Considerando bidimensional em xy, então w ∂ V → ∂ z = 0 e:

a → p , c o n v e c = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais: V → = A x   s e n   2 π ω t i ^ + A y   s e n   2 π ω t j ^

∂ V → ∂ x = A   s e n   2 π ω t i ^

∂ V → ∂ y = A   s e n   2 π ω t j ^

Sendo u = A x   s e n   2 π ω t e v = A y   s e n   2 π ω t , ficamos com:

a → p , c o n v e c = A x   s e n   2 π ω t A   s e n   2 π ω t i ^ + A y   s e n   2 π ω t A   s e n   2 π ω t j ^

a → p , c o n v e c = A 2 x   s e n   2 π ω t 2 i ^ + A 2 y   s e n   2 π ω t 2 j ^

A aceleração total é a soma da convectiva com a local, então

a → p , t o t a l =   2 π ω A x cos ⁡ 2 π ω t i ^ + 2 π ω A y cos ⁡ 2 π ω t j

+ A 2 x   s e n   2 π ω t 2 i ^ + A 2 y   s e n   2 π ω t 2 j ^

a → p , t o t a l =   2 π ω A x cos ⁡ 2 π ω t + A 2 x   s e n   2 π ω t 2 i ^ + 2 π ω A y cos ⁡ 2 π ω t + A 2 y   s e n   2 π ω t 2 j ^

Passo 2

No ponto (1,1) em t=0 e com A = 2   s - 1 e ω = 1   s - 1 :

a → p , l o c a l = 2 π 1 2 1 cos ⁡ 0 i ^ + 2 π 1 2 1 cos ⁡ 0 j

a → p , l o c a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

(ps.: no gabarito ele usa o valor de π = 3,14 , mas é tão desnecessário que nem vou fazer. ELE QUE LUTE)

a → p , c o n v e c = 2 2 1   s e n   0 2 i ^ + 2 2 1   s e n   0 2 j ^

a → p , c o n v e c = 0

a → p , t o t a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

Passo 3

No ponto (1,1) em t=0,5 s e com A = 2   s - 1 e ω = 1   s - 1 :

a → p , l o c a l = 2 π 1 2 1 cos ⁡ 2 π 1 0,5 i ^ + 2 π 1 2 1 cos ⁡ 2 π 1 0,5 j

a → p , l o c a l = - 4 π i ^ - 4 π j   m / s 2

(ps.: no gabarito ele usa o valor de π = 3,14 , mas é tão desnecessário que nem vou fazer. ELE QUE LUTE)

a → p , c o n v e c = 2 2 1   s e n   2 π 1 0,5 2 i ^ + 2 2 1   s e n   2 π 1 0,5 2 j ^

a → p , c o n v e c = 0

a → p , t o t a l = - 4 π i ^ - 4 π j   m / s 2

Passo 4

No ponto (1,1) em t=1 s e com A = 2   s - 1 e ω = 1   s - 1 :

a → p , l o c a l = 2 π 1 2 1 cos ⁡ 2 π 1 1 i ^ + 2 π 1 2 1 cos ⁡ 2 π 1 1 j

a → p , l o c a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

(ps.: no gabarito ele usa o valor de π = 3,14 , mas é tão desnecessário que nem vou fazer. ELE QUE LUTE)

a → p , c o n v e c = 2 2 1   s e n   2 π 1 1 2 i ^ + 2 2 1   s e n   2 π 1 1 2 j ^

a → p , c o n v e c = 0

a → p , t o t a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

Passo 5

Para o gradiente de pressão em t=0 s, temos:

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente x da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ a p , x

Desconsiderando a gravidade ( g x = 0 ) e ρ é conhecido ( ρ = 2   k g / m 3 ) ,

∂ p ∂ x = - 2 k g m 3 4 π m s 2 = - 8 π k g m 3 m s 2  

Sabemos, (ou fingimos que sabemo só pra fazer a mudança de unidade e chegamos em Pascal)

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = - 8 π N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = - 8 π P a m

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente y da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ a p , y

Desconsiderando a gravidade ( g x = 0 ) e ρ é conhecido ( ρ = 2   k g / m 3 ) ,

∂ p ∂ y = - 2 k g m 3 4 π m s 2 = - 8 π k g m 3 m s 2  

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = - 8 π N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = - 8 π P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = - 8 π i ^ - 8 π j ^ P a m  

Passo 6

Para o gradiente de pressão em t=0,5 s, temos:

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente x da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ a p , x

Desconsiderando a gravidade ( g x = 0 ) e ρ é conhecido ( ρ = 2   k g / m 3 ) ,

∂ p ∂ x = - 2 k g m 3 - 4 π m s 2 = 8 π k g m 3 m s 2  

Sabemos, (ou fingimos que sabemo só pra fazer a mudança de unidade e chegamos em Pascal)

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = 8 π N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = 8 π P a m

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente y da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ a p , y

Desconsiderando a gravidade ( g x = 0 ) e ρ é conhecido ( ρ = 2   k g / m 3 ) ,

∂ p ∂ y = - 2 k g m 3 - 4 π m s 2 = 8 π k g m 3 m s 2  

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = 8 π N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = 8 π P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = 8 π i ^ + 8 π j ^ P a m  

Passo 7

Para o gradiente de pressão em t=1 s, temos:

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente x da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ a p , x

Desconsiderando a gravidade ( g x = 0 ) e ρ é conhecido ( ρ = 2   k g / m 3 ) ,

∂ p ∂ x = - 2 k g m 3 4 π m s 2 = - 8 π k g m 3 m s 2  

Sabemos, (ou fingimos que sabemo só pra fazer a mudança de unidade e chegamos em Pascal)

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = - 8 π N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = - 8 π P a m

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente y da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ a p , y

Desconsiderando a gravidade ( g x = 0 ) e ρ é conhecido ( ρ = 2   k g / m 3 ) ,

∂ p ∂ y = - 2 k g m 3 4 π m s 2 = - 8 π k g m 3 m s 2  

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = - 8 π N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = - 8 π P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = - 8 π i ^ - 8 π j ^ P a m  

Resposta

Para t = 0 s:

a → p , l o c a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

a → p , c o n v e c = 0

a → p , t o t a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

∇ p = - 8 π i ^ - 8 π j ^ P a m  

Para t = 0,5 s:

a → p , l o c a l = - 4 π i ^ - 4 π j   m / s 2

a → p , c o n v e c = 0

a → p , t o t a l = - 4 π i ^ - 4 π j   m / s 2

∇ p = 8 π i ^ + 8 π j ^ P a m  

Para t = 1 s:

a → p , l o c a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

a → p , c o n v e c = 0

a → p , t o t a l = 4 π i ^ + 4 π j   m / s 2

∇ p = - 8 π i ^ - 8 π j ^ P a m  

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