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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 34

Um campo de escoamento incompressível, tridimensional, proposto tem a seguinte forma vetorial:

V = K x   i ^ + K y   j ^ + 2 K z   k ^

(a) Determine se esse campo é uma solução válida para a continuidade e para Navier-Stokes. (b) Se g = - g   k ^ , encontre o campo de pressão p(x,y,z). (c) O escoamento é irrotacional?

Passo 1

Fala cara, bora pra mais uma juntos!

Foi nos dado um campo ai, bora ver se ele satisfaz a continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x K x + ∂ ∂ y K y + ∂ ∂ z 2 K z = K + K + 2 K = 4 K ≠ 0

Cara, não satisfaz a equação da continuidade. Um sábio professor uma vez me disse que exercícios são feitos para dar certo, talvez, uma impressão errada nos causou essa não validez, se tivéssemos V = K x i ^ + K y j ^ - 2 K z k ^ , essa simples troca de sinal, iria satisfazer!

Passo 2

Bora ver Navier-Stokes, teremos que ficará da seguinte maneira em x:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

ρ K 2 x + 0 + 0 = - ∂ p ∂ x + μ ( 0 + 0 + 0 )

Em y:

ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2

ρ 0 + K 2 y + 0 = - ∂ p ∂ y + μ ( 0 + 0 + 0 )

Em z:

ρ u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ p ∂ z + ρ g z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2

ρ 0 + 0 + 4 K 2 z = - ∂ p ∂ z - ρ g + μ 0 + 0 + 0

Integrando cada equação para pressão e juntando os termos, teremos:

p = p 0,0 , 0 - ρ g z - ρ 2 K 2 ( x 2 + y 2 + 4 z 2 )

Passo 3

Para verificarmos se é irrotacional, teremos:

∇ × V = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z K x K y 2 K z = 0 - 0 i + 0 - 0 j + 0 - 0 = 0

Logo, podemos dizer que sim, o campo é irrotacional!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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