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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 25

Um campo de velocidade é dado por V → = A x 3 + B x y 2 i ^ + A y 3 + B x 2 y j ^ , A = 0,2   m - 2 s - 1   e   B é uma constante e as coordenadas são medidas em metros. Determine o valor e as unidades de B considerando que este campo de velocidade representa um escoamento incompressível. Determine a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y) = (2, 1). Avalie a componente da aceleração da partícula normal ao vetor velocidade neste ponto.

Passo 1

Pessoal, temos um escoamento em 2D e incompressível, além do campo de velocidade. Então, vamos usar a equação 5.3 do livro, que aborda a equação da continuidade para estas condições:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Onde:

u = A x 3 + B x y 2

v = A y 3 + B x 2 y

Substituindo os valores, temos:

∂ A x 3 + B x y 2 ∂ x + ∂ A y 3 + B x 2 y ∂ y = 0

3 A x 2 + B y 2 + 3 A y 2 + B x 2 = 0

3 A + B x 2 + y 2 = 0

Sendo A = 0,2   m - 2 s - 1   :

0,6 + B x 2 + y 2 = 0

Para esta equação ser zero para quaisquer x e y, então:

0,6 + B = 0

B = - 0,6   m - 2 s - 1

B = - 3 A

Passo 2

A equação da aceleração da partícula em x é dada pela equação:

a x = D u D t = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Podemos simplificar a expressão e ficamos com:

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

Substituindo os valores, temos:

a x = A x 3 + B x y 2 ∂ A x 3 + B x y 2 ∂ x + A y 3 + B x 2 y ∂ A x 3 + B x y 2 ∂ y

a x = A x 3 + B x y 2 3 A x 2 + B y 2 + A y 3 + B x 2 y 2 B x y

Como B = - 3 A :

a x = A x 3 - 3 A x y 2 3 A x 2 - 3 A y 2 + A y 3 - 3 A x 2 y - 6 A x y

a x = 3 A 2 x 5 - 3 A 2 x 3 y 2 - 9 A 2 x 3 y 2 + 9 A 2 x y 4 - 6 A 2 x y 4 + 18 A 2 x 3 y 2

a x = 3 A 2 x x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4

a x = 3 A 2 x x 2 + y 2 2

No ponto (2,1), a aceleração em x será de:

a x = 3 ( 0,2 ) 2 ( 2 ) 2 2 + 1 2 2

a x = 6   m / s 2

Passo 3

A equação da aceleração da partícula em y é dada pela equação:

a y = D v D t = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Podemos simplificar a expressão e ficamos com:

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Substituindo os valores, temos:

a y = A x 3 + B x y 2 ∂ A y 3 + B x 2 y ∂ x + A y 3 + B x 2 y ∂ A y 3 + B x 2 y ∂ y

a y = A x 3 + B x y 2 2 B x y + A y 3 + B x 2 y 3 A y 2 + B x 2

Como B = - 3 A :

a y = A x 3 - 3 A x y 2 - 6 A x y + A y 3 - 3 A x 2 y 3 A y 2 - 3 A x 2

a y = - 6 A 2 x 4 y   + 18 A 2 x 2 y # + 3 A 2 y 5 - 3 A 2 x 2 y 3 - 9 A 2 x 2 y 3 + 9 A 2 x 4 y

a y = 3 A 2 y x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4

a y = 3 A 2 y x 2 + y 2 2

No ponto (2,1), a aceleração em x será de:

a y = 3 ( 0,2 ) 2 ( 1 ) 2 2 + 1 2 2

a y = 3   m / s 2

Passo 4

O módulo da aceleração total vai ser dado por:

a = a x 2 + a y 2

a = 6,71   m / s 2

A componente normal neste ponto pode ser encontrada a partir do ângulo entre a aceleração e velocidade:

O ângulo da velocidade em relação a origem é dado por:

θ v e l = arctan ⁡ v u = arctan ⁡ A y 3 + B x 2 y A x 3 + B x y 2

Substituindo no ponto (2,1):

θ v e l = arctan ⁡ ( 0,2 ) 1 3 + ( - 0,6 ) 2 2 1 ( 0,2 ) 2 3 + ( - 0,6 ) 2 ( 1 ) 2

θ v e l = - 79,7 º

O ângulo da aceleração em relação a origem é dado por:

θ a c e l = arctan ⁡ a y a x = arctan ⁡ 3 A 2 y x 2 + y 2 2 3 A 2 x x 2 + y 2 2

θ a c e l = arctan ⁡ 1 2

θ a c e l = 26,6 º

Então, o ângulo entre os dois vetores será:

∆ θ = θ a c e l - θ v e l

∆ θ = 26,6 - ( - 79,7 )

∆ θ = 106,1 º

Por definição, a componente normal da aceleração é perpendicular ao vetor velocidade. Então podemos encontrar pela expressão:

a n = a   s e n ( ∆ θ )

a n = 6,71   s e n ( 106,1 )

a n = 6,45   m / s 2

Resposta

B = - 0,6   m - 2 s - 1

a x = 6   m / s 2

a y = 3   m / s 2

∆ θ = 106,1 º

a n = 6,45   m / s 2

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