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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 87

Uma canoa é representada por um semicilindro circular reto, com R = 0,35   m e L = 5,25   m . A canoa flutua sozinha em água com seu fundo a uma profundidade d = 0,245   m . Estabeleça uma expressão algébrica geral para a massa total (canoa e carga) que pode

flutuar em função da profundidade. Avalie para as condições dadas. Plote os resultados para a faixa de profundidade na água 0 ≤ d ≤ R .

Passo 1

Nessa questão temos uma canoa, modelada como uma concha cilíndrica semicircular direita, flutua na água de profundidade d . Devemos encontrar uma expressão para a massa total máxima que pode ser flutuada, em função da profundidade, além de avaliar para as condições dadas e plotar para profundidade da água entre 0 e R .

Agora vamos ver com quais expressões podemos calcular isso:

d p d y = ρ g , pressão hidrostática onde y é positivo para a superfície livre.

F v = ∫ p d A y , força hidrostática vertical

Como todo problema da MecFLu, fazemos algumas considerações: fluido estático e incompressível; pressão atmosférica atuando na superfície da agua.

Passo 2

Inicialmente temos que y é uma função de θ para uma dada profundidade d e assim, temos o diagrama:

y = d - R - R cos ⁡ θ = d - R + R cos ⁡ θ

Assim, o máximo valor para θ é: θ m a x = acos ⁡ R - d R = acos ⁡ 0,35   m - 0,245   m 0,35   m = 1,27 . Pelo diagrama temos:

∑ F y = M g - F v

Passo 3

Pela força vertical,

F v = ∫ p d A y = ∫ p cos ⁡ θ d A

= ∫ - θ m a x θ m a x ρ g y L R c o s   θ d θ

= 2 ρ g L R ∫ 0 θ m a x ( d - R + R cos ⁡ θ ) c o s   θ d θ

Logo,

= 2 ρ g L R ∫ 0 θ m a x [ d - R cos ⁡ θ + R cos ⁡ θ 2 ] d θ

= 2 ρ g L R d - R sin ⁡ θ m a x + R θ m a x 2 + sin ⁡ 2   θ m a x 4

Como M = F v g , então:

M = 2 ρ L R d - R sin ⁡ θ m a x + R θ m a x 2 + sin ⁡ 2   θ m a x 4

Substituindo os dados:

M = 2 × 999 k g m 3 × 5,25 × 0,35 × 0,245   - 0,35   sin ⁡ ( 1,27 ) + R ( 1,27 ) 2 + sin ⁡ 2 × 1,27 4

M = 3671,325 - 0,105   sin ⁡ ( 1,27 ) + 0,35 × 0,272

Passo 4

Assim, o gráfico para os resultados para a faixa de profundidade na água 0 ≤ d ≤ R é:

Resposta

M = 18,72   k g

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