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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 54

Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. Usando a equação da quantidade de movimento, desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade.

Passo 1

A equação de momento na componente x pode ser escrita por:

F S x = 0

F S x = p + d p d x d x 2 . π R 2 + τ r x 2 π r d x - p + d p d x d x 2 . π R 2 = 0

Simplificando, chega-se na seguinte equação:

- r d p d x + 2 τ r x = 0

τ r x = r 2 d p d x

Sabendo que:

τ r x = μ d u d r

Podemos igualar as equações, integrar e isolar a velocidade:

μ d u d r = r 2 d p d x

d u = r 2 μ d p d x d r

u = r ² 4 μ d p d x + c 1

Aplicando as condições de contorno para u = 0 e r = R podemos descobrir a constante:

0 = R ² 4 μ d p d x + c 1

c 1 = - R ² 4 μ d p d x

Substituindo na equação temos:

u = r ² 4 μ d p d x - R ² 4 μ d p d x

u = R ² 4 μ d p d x 1 - r R 2

Portanto, a expressão para a distribuição de velocidade é:

u = R ² 4 μ d p d x 1 - r R 2

Resposta

u = R ² 4 μ d p d x 1 - r R 2

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