Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 85
Um cilindro de alumínio (d = 2,7) desliza concentricamente para baixo em um fio esticado de 1 mm de diâmetro, como mostra a Figura P7.85. Seu comprimento é L = 8 cm e seu raio é R = 1 cm. Um furo de 2 mm de diâmetro no centro do cilindro é lubrificado com óleo SAE 30 a 20°C. Calcule a velocidade terminal de queda V do cilindro se o arrasto no ar ambiente é (a) desprezado e (b) incluído. Admita ar a 1 atm e 20°C.
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
Nessa questão, temos um cilindro de alumínio, de massa específica , que desliza concentricamente em um fio de de diâmetro, como demonstra a figura que ilustra a imagem.
O comprimento do cilindro é e seu raio é . Além disso, temos também um furo de diâmetro no centro do cilindro, lubrificado com óleo SAE 30 a 20°C ().
O enunciado da questão nos pede pra calcular a velocidade terminal do cilindro deslizando em duas situações: a primeira quando a força de arrasto é desprezada, e a segunda incluindo essa força.
Antes de partir pros equacionamentos, temos que lembrar que quando um corpo atinge a velocidade terminal, não há aceleração no corpo e as forças que atuam nele estão equilibradas.
Pra primeira situação, quando o arrasto é negligenciado, o peso do cilindro será igual à força de atrito devida à tensão de cisalhamento entre o óleo e as paredes do buraco no centro do cilindro.
Sendo assim:
Sendo, a área lateral do furo no centro do cilindro.
Já pra primeira situação, quando o arrasto é considerado, o peso do cilindro será igual à soma da força de atrito devida a e da força de arrasto causada pelo deslocamento de ar provocado pelo cilindro, .
Sendo assim:
Nos próximos passos, eu vou te ensinar como calcular e encontrar expressões pra e em função da velocidade terminal , e a como calculá-las.
Mas antes da gente ir pro Passo 2, vamos lembrar que para o ar à temperatura ambiente, a massa específica será e a viscosidade será .
Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!
Passo 2
Em primeiro lugar, vamos calcular o peso do cilindro.
Basicamente, ele será dado pelo produto entre o peso específico do cilindro e seu volume.
O volume será dado pelo volume do cilindro inteiro de mesmo diâmetro menos o volume do furo.
Sendo assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a letra (a), encontrando a velocidade terminal para o caso da força de arrasto ser negligenciada.
Para deduzir uma expressão para a tensão de cisalhamento entre o óleo e o buraco do cilindro, devemos simplesmente considerar que este óleo está escoando em uma região anular formada pelo fio e pelo furo no cilindro.
Sendo assim, a tensão de cisalhamento será dada por:
Expressando em função de , teremos:
Substituindo no balanço de forças para este caso, teremos:
Isolando e resolvendo pra :
Passo 4
Pra finalizar a questão, vamos resolver a letra (b), encontrando a velocidade terminal para o caso da força de arrasto ser considerada.
Nesse caso, queremos encontrar uma expressão pra força de arrasto em função de . Dessa forma, teremos:
Nesse caso teremos que encontrar o valor do coeficiente de arrasto , vamos na Tabela 7.3 na página 495. Pra um cilindro achatado, teremos .
Portanto, a força de arrasto se torna:
Substituindo no balanço de forças para essa situação:
Resolvendo essa equação de segundo grau para , teremos:
Coo podemos ver, a força de arrasto é completamente negligenciável para esse problema.
Pronto, matamos a questão juntos!
Resposta
(a) A velocidade terminal negligenciando o arrasto é
(b) A velocidade terminal considerando o arrasto é