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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 108

Dados experimentais [16] sugerem que as áreas de arrasto máxima e mínima ( C D A ) para um paraquedista de salto livre variam de cerca de 0,85   m ² , para uma posição de decúbito ventral, com as pernas e os braços abertos, a 0,11   m ² para queda vertical. Estime as velocidades terminais para um paraquedista de 75   k g em cada posição. Calcule o tempo e a distância necessários para o paraquedista atingir   90 % da velocidade terminal em uma altitude de 3000   m de um dia-padrão.

Passo 1

Fala aí galera, bora pra mais uma questão de Mecânica dos fluidos para tirarmos aquele notão na prova. Primeiramente, sabemos que:

∑ F y = 0

M g - F A = 0

Logo:

F A = 1 2 ρ U 2 A C A = M g = W

Isolando a velocidade:

U t = 2 W ρ A C A

Para as áreas de arrasto mínima e máxima:

U t   m á x = 2 W ρ A C A   m í n = 121,92   m / s

U t   m i n = 2 W ρ A C A   m á x = 44,31   m / s

Passo 2

Para encontrar o tempo necessário para atingir uma fração da velocidade terminal, reescrevemos o balanço de força:

∑ F y = M a y

M g - F A = M a y

M g - 1 2 ρ U 2 A C A = M d U d t = M   U d U d y

Colocando em função do peso:

W - 1 2 ρ U 2 A C A = W g d U d t = W g   U d U d y

Para normalizar as derivadas pela velocidade do terminal:

W g d U d t = W U t g d d t U U t

W g U d U d y = W U t 2 g   U U t d d y U U t

Portanto:

W - 1 2 ρ U U t 2 A C A 2 W ρ A C A = W U t g d d t U U t = W U t 2 g   U U t d d y U U t  

Simplificando:

1 - U U t 2 = U t g d d t U U t = U t 2 g   U U t d d y U U t

Passo 3

Agora, basta resolver a expressão. Primeiramente, faremos que:

U n = U U t

Logo:

1 - U n 2 = U t g d U n d t

Separando variáveis:

∫ 0 t g U t d t = ∫ 0 0,9 1 1 - U n 2 d U n

Integrando:

g t U t = a r c t g 0,9 - a r c t g 0

Ou seja:

t = 1,472 U t g

Portanto:

t m í n = 1,472 U t   m i n g = 6,65 s

t m á x = 1,472 U t   m á x g = 18,32 s

Já para a distância:

∫ 0 y g U t 2 d y = ∫ 0 0,9 U n 1 - U n 2 d U n

Integrando:

g y U t 2 = - 1 2 ln ⁡ 1 - 0,9 2 1 - 0 = 0,8304

y = 0,8304 U t 2 g

Portanto:

y m i n = 0,8304 U t   m í n 2 g = 166,4 m

y m á x = 0,8304 U t m á x 2 g = 1262 m

Resposta

U t   m á x = 121,92   m / s

U t   m i n = 44,31   m / s

t m í n = 6,65 s

t m á x = 18,32 s

y m i n = 166,4 m

y m á x = 1262 m

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