Enunciado

Um cone sólido de ângulo 2 θ , base r 0 e massa específica ρ c está girando com velocidade angular ω 0 em um assento cônico, como mostra a Figura P 1.53 . A folga h é preenchida com óleo de viscosidade μ . Desprezando o arrasto do ar, deduza uma expressão analítica para a velocidade angular ω ( t ) do cone se não há torque aplicado.

Passo 1

Vamos lá, podemos montar a formula para o torque diferencial.

d T = r τ d A w

Onde:

τ = μ ⋅ r ω h

d A w = 2 π r ⋅ d r sen ⁡ θ

Assim:

d T = r ⋅ μ ⋅ r ω h ⋅ 2 π r ⋅ d r sen ⁡ θ

Agora temos que integrar nosso torque, vamos lá!

T = ∫ 0 r 0 μ ω h ⋅ sen ⁡ θ 2 π r 3 d r = π μ ω r 0 4 2 h ⋅ sen ⁡ θ  

Passo 2

Agora podemos abordar o torque em função do momento angular, assim temos:

T = - I 0 ⋅ d ω d t ,   o n d e   I 0 c o n e = 3 10 m r 0 2

Onde m é a massa do cone.

Passo 3

Agora separando as variáveis e após vamos integrar.

- I 0 ⋅ d ω d t = π μ ω r 0 4 2 h ⋅ sen ⁡ θ

∫ w 0 w d ω ω = - π μ r 0 4 2 h I 0 sen ⁡ θ ⋅ ∫ 0 t d t

Estamos quase lá, não desistam!

ln ⁡ ω - ω 0 = - π μ r 0 4 2 h sen ⁡ θ ⋅ 1 I 0 ⋅ t

ln ⁡ ω ω 0 = - π μ r 0 4 2 h sen ⁡ θ ⋅ 10 3 ⋅ m r 0 2 ⋅ t

ln ⁡ ω ω 0 = - 5 π μ r 0 2 ⋅ t 3 h m sen ⁡ θ

Aplicando a exponencial finalmente achamos a função da velocidade!

ω ω 0 = exp ⁡ - 5 π μ r 0 2 ⋅ t 3 h m sen ⁡ θ

ω = ω 0 ⋅ exp ⁡ - 5 π μ r 0 2 ⋅ t 3 h m sen ⁡ θ

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

ω = ω 0 ⋅ exp ⁡ - 5 π μ r 0 2 ⋅ t 3 h m sen ⁡ θ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mott [Referência 49, p.38] apresenta um viscosímetro simples de queda de esfera, que podemos analisar mais tarde no Capítulo 7. Uma pequena esfera de diâmetro D e massa específica ρ e cai através de u
A alavanca da Figura A1.9 tem um peso P em uma das extremidades e está presa a um cilindro na outra extremidade. O cilindro tem peso e empuxo desprezíveis e desliza para cima em um filme de óleo pesad
Óleo SAE 10 W a 20 °C escoa ao longo de uma superfície plana, como mostrado na Figura 1.6b. O perfil de velocidade u y é medido, obtendo-se os seguintes resultados:Usando as suas melhores habilidades
Um dispositivo mecânico que usa o cilindro rotativo da Figura A1.6 é o viscosímetro Stormer [29]. Em vez de ser acionado a uma velocidade angular constante Ω , uma corda é enrolada ao redor do eixo e
O viscosímetro de cilindro rotativo na Figura A1.6 provoca cisalhamento no fluido em uma folga pequena Δ r , como mostra a figura. Considerando uma distribuição linear de velocidade nas folgas e medin