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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 33

Consider incompressible fl ow at a volume rate Q toward

a drain at the vertex of a 458 wedge of width b, as in

Fig. P4.33. Neglect gravity and friction and assume purely

radial inflow. (a) Find an expression for υr(r). (b) Show

that the viscous term in the r-momentum equation is zero.

(c) Find the pressure distribution p(r) if p 5 po at r 5 R.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) O fluxo radial é dado por:

v r = - Q A

Sinal negativo por causa do fluxo interno. Aqui, Q é a taxa de fluxo de volume e A é a área de cunha dada por,

A   = θ 2 π ( 2 π r b )   = π 4 r b

Aqui b está a largura da cunha. Assim, o fluxo radial se reduz a

v r   = - Q π 4 r b   = - 4 Q π r b

Portanto, a expressão para v r é v r ( r ) = - 4 Q π r b .

Passo 2

(b) Vamos, para simplificar C = 4 Q π b . Então

v r = - C r

Agora, a equação do momento r é,

∂ v r ∂ t + v r ∂ v r ∂ r - 1 r v θ 2 = - 1 ρ ∂ p ∂ r + g r + v ∇ 2 v r - v r r 2 - 2 r 2 ∂ v θ ∂ θ … … ( 1 )

Considerando apenas o termo viscoso,

v ∇ 2 v r - v r r 2 - 2 r 2 ∂ v θ ∂ θ

Passo 3

Aqui, o primeiro termo da equação (1) pode ser simplificado como abaixo.

∇ 2 v r   = 1 r ∂ ∂ r r ∂ v r ∂ r   = - 1 r ∂ ∂ r r ∂ C / r ∂ r   = 1 r ∂ C / r ∂ r   = - C r 3

O segundo termo da equação (1) pode ser simplificado como abaixo.

v r r 2   = - C / r r 2   = - C r 3

Agora, o termo viscoso se reduz a,

v ∇ 2 v r - v r r 2 - 2 r 2 ∂ v θ ∂ θ   = v - C r 3 + C r 3 + 0   = 0

Portanto, está provado que o termo viscoso na r - equação do momento é zero.

Passo 4

(c) Agora, elimine o termo viscoso sem gravidade para fluxo constante na equação (1)

v r ∂ v r ∂ r   = - 1 ρ ∂ p ∂ r ∂ p ∂ r   = - ρ C r ∂ C / r ∂ r ∂ p ∂ r   = ρ C 2 r 3 d p   = ρ C 2 r 3 d r

Agora integrar em ambos os lados, temos

  ∫   d p = ∫   ρ C 2 r 3 d r p = - ρ C 2 2 r 2 + K . . . ( 2 )

Aqui, K está a constante de integração.

Passo 5

Aplique a condição limite, p = p 0 em r = R Agora, a equação (2) torna-se,

p 0 = - ρ C 2 2 R 2 + K K = p 0 + ρ C 2 2 R 2

Portanto, substitua K na equação (2)

p = - ρ C 2 2 r 2 + p 0 + ρ C 2 2 R 2 p = p 0 + ρ C 2 2 1 R 2 - 1 r 2

Portanto, a distribuição de pressão é p = p 0 + ρ C 2 2 1 R 2 - 1 r 2 .

Resposta

p = p 0 + ρ C 2 2 1 R 2 - 1 r 2

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