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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 28

For the velocity distribution of Prob. 4.10, (a) check continuity. (b) Are the Navier-Stokes equations valid? (c) If so,

determine p(x, y) if the pressure at the origin is p0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) Verifique a equação de continuidade para o fluxo.

∂ u ∂ x + ∂ u ∂ y = 0

Substituindo valores

∂ ∂ x ( 4 y ) + ∂ ∂ y ( 2 x ) = 0 0 + 0 = 0

Portanto, é claro que a continuidade do fluxo plano está satisfeita.

Passo 2

b) Escreva as equações Navier-strokes.

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = ρ g x - ∂ P ∂ x + μ ∇ 2 u = 0

Substituindo valores

ρ 4 y ∂ ∂ x ( 4 y ) + 2 x ∂ ∂ y ( 4 y ) = 0 - ∂ P ∂ x + 0 ρ ( 4 y ( 0 ) + 2 x ( 4 ) ) = - ∂ P ∂ x ∂ P ∂ x = - 8 ρ x

Passo 3

Escreva as equações Navier-strokes

ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = ρ g y - ∂ P ∂ y + μ ∇ 2 v = 0

Substituindo valores

ρ 4 y ∂ ( 2 x ) ∂ x + 2 x ∂ ∂ y ( 2 x ) = 0 - ∂ P ∂ y + 0 ρ ( 4 y ( 2 ) + 2 x ( 0 ) ) = - ∂ P ∂ y ∂ P ∂ y = - 8 ρ y

Verifique as equações de Navier-stokes.

∂ 2 P ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ P ∂ y

Substituindo valores

∂ 2 P ∂ x ∂ y   = ∂ ∂ x ( - 8 ρ y )   = 0

Assim, as equações de Navier-stokes são válidas.

Passo 4

c) Para encontrar p ( x , y ) Integrar os dois gradientes de pressão.

p x = ∫ y = C     ∂ p ∂ x d x   Substituindo   - 8 ρ x   para   ∂ P ∂ x p x   = ∫ y = C     - 8 ρ x d x   = - 4 ρ x 2 +  const  p y   = ∫ y = C     ∂ p ∂ y d y   Substituindo   - 8 ρ y   para   ∂ P ∂ y p y   = ∫ y = C     - 8 ρ y d y   = - 4 ρ y 2 +  const 

Calcule a distribuição de pressão.

p x + p y = - 4 ρ x 2 +  const  + - 4 ρ y 2 +  const  p total    =  const  - 4 ρ x 2 + y 2   = p o - 4 ρ r 2

Assim, a distribuição de pressão p ( x , y ) é p o - 4 ρ r 2 .

Resposta

a) Satisfeita

b) Válida

c) p o - 4 ρ r 2

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