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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 95

Dois líquidos imiscíveis de espessura h igual estão sob cisalhamento entre uma placa fixa e outra móvel, como na Figura P4.95. A gravidade é desprezada e não há variação com x. Encontre uma expressão para (a) a velocidade na interface e (b) a tensão de cisalhamento em cada fluido. Considere escoamento laminar permanente.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

E primeiro lugar, vamos dar uma olhada na equação da continuidade pra esse problema pra ver se conseguimos tirar algo de interessante de lá:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Considerando que não temos variação de velocidade em x,   ∂ u ∂ x = 0 , portanto, ficamos com ∂ v ∂ y = 0 e v = 0 , descobrindo que u é uma função de y a apenas.

Podemos analisar também a equação de Navier-Stokes pro problema:

ρ 1,2 u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x + μ 1,2 ∂ ² u ∂ x ² + ∂ ² u ∂ y ²

0 = - 0 + μ 1,2 0 + ∂ ² u ∂ y ²

Ou seja, teremos:

u = a + b y

Indicando que a velocidade u varia linearmente com y .

Passo 2

Vamos agora resolver a letra (a) e achar uma expressão pra velocidade na interface u I .

E, primeiro lugar, vamos achar expressões pras tensões de cisalhamento na interface pra cada um dos fluidos, considerando a velocidade variando linearmente com y :

τ 1 = μ 1 u I h

τ 2 = μ 2 V - u I h

Considerando que na interface as tensões de cisalhamento para ambos os fluidos são iguais, podemos igualar as duas expressões acima:

μ 1 u I h = μ 2 V - u I h

E assim podemos encontrar facilmente uma expressão pra u I :

u I = μ 2 μ 1 + μ 2 V

Passo 3

Agora, vamos resolver a letra (b) e encontrar uma expressão pra tensão de cisalhamento na interface, τ I .

Basta a gente substituir u I na primeiro expressão pra τ 1 que te mostrei no passo anterior:

τ I = μ 1 μ 2 μ 1 + μ 2 V h

τ I = μ 1 μ 2 μ 1 + μ 2 V h

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) u I = μ 2 μ 1 + μ 2 V

(b) τ I = μ 1 μ 2 μ 1 + μ 2 V h

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