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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 6

Considere uma camada-limite turbulenta, em regime estacionário, sobre uma placa plana isotérmica a uma temperatura T s . A camada-limite é “perturbada” na aresta frontal, x = 0 , por um fio fino. Suponha propriedades físicas constantes e perfis de velocidades e de temperaturas nas formas

u u ∞ = y δ 1 / 7

E

T - T ∞ T s - T ∞ = 1 - y δ t 1 / 7

(a) Com base nos experimentos, sabe-se que a tensão de cisalhamento na superfície está relacionada à espessura da camada-limite por uma expressão que tem a forma

τ s = 0,0228   ρ u ∞ 2   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

Partindo da equação integral do momento (Apêndice G), mostre que

δ x = 0,376   R e x - 1 / 5

Determine o coeficiente de atrito médio C - f , x .

(b) Partindo da equação integral da energia, obtenha uma expressão o número de Nusselt local N u x e use esse resultado para calcular o número de Nusselt médio N u - x .

Passo 1

Nossa situação é a seguinte: recebemos os perfis de velocidade e temperatura, além de uma relação para a tensão de cisalhamento. Devemos usar estas expressões e a equação integral do momento para chegar à expressão da espessura da camada limite. Tudo bem?

Começando pela equação integral do momento:

ρ u ∞ 2 d d x ∫ 0 δ 1 - u u ∞ u u ∞ d y = τ s

Substituindo as relações de velocidade e tensão:

ρ u ∞ 2 d d x ∫ 0 δ 1 - y δ 1 / 7 y δ 1 / 7 d y = 0,0228   ρ u ∞ 2   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

d d x ∫ 0 δ y δ 1 / 7 - y δ 2 / 7 d y = 0,0228   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

d d x 7 8 y 8 / 7 δ 1 / 7 - 7 9 y 9 / 7 δ 2 / 7 0 δ = 0,0228   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

d d x 7 8 δ - 7 9 δ = 0,0228   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

d d x 7 72 δ = 0,0228   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

7 72 d δ = 0,0228   u ∞ δ ϑ - 1 / 4 d x

δ 1 / 4 d δ = 72 7 × 0,0228   u ∞ ϑ - 1 / 4 d x

Passo 2

Integrando:

∫ 0 δ δ 1 / 4 d δ = 72 7 × 0,0228   u ∞ ϑ - 1 / 4 ∫ 0 x d x

4 5 δ 5 / 4 = 72 7 × 0,0228   u ∞ ϑ - 1 / 4 x

δ 5 / 4 = 5 4 × 72 7 × 0,0228   u ∞ ϑ - 1 / 4 x

δ = 5 4 × 72 7 × 0,0228 4 / 5 u ∞ ϑ - 1 / 5 x 4 / 5

δ = 0,375 u ∞ ϑ - 1 / 5 x 4 / 5 x 1 / 5 x - 1 / 5

δ = 0,375 u ∞ x ϑ - 1 / 5 x

δ x = 0,375 R e x - 1 / 5

Nosso próximo será encontrar o coeficiente de atrito médio. Partindo da equação da tensão de cisalhamento:

τ s = 0,0228   ρ u ∞ 2   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

τ s = 2 × 0,0228 ρ u ∞ 2 2   u ∞ δ ϑ - 1 / 4

τ s ρ u ∞ 2 2 = 2 × 0,0228 u ∞ δ ϑ - 1 / 4

Pela definição do coeficiente de atrito local:

C f , x = τ s ρ u ∞ 2 / 2

C f , x = 2 × 0,0228 u ∞ δ ϑ - 1 / 4

Aplicando a relação de camada de limite:

C f , x = 2 × 0,0228 u ∞ 0,375 x ϑ u ∞ x ϑ - 1 / 5 - 1 / 4

C f , x = 2 × 0,0228 0,375 R e x R e x - 1 / 5 - 1 / 4

C f , x = 2 × 0,0228 0,375 R e x 4 / 5 - 1 / 4

C f , x = 0,0583 R e x - 1 / 5

Passo 3

A partir da relação do coeficiente de atrito local podemos determinar o coeficiente médio através de:

C - f , x = ∫ 0 x C f , x d x ∫ 0 x d x

C - f , x = 1 x ∫ 0 x C f , x d x

C - f , x = 1 x ∫ 0 x 0,0583 u ∞ ϑ - 1 / 5 x - 1 / 5 d x

C - f , x = 1 x 0,0583 u ∞ ϑ - 1 / 5 ∫ 0 x x - 1 / 5 d x

C - f , x = 1 x 0,0583 u ∞ ϑ - 1 5 5 4 x 4 5

C - f , x = 0,0729 u ∞ ϑ - 1 5 x - 1 5

C - f , x = 0,0729 u ∞ x ϑ - 1 5

C - f , x = 0,0729 R e x - 1 / 5

Passo 4

Para o item (b), devemos agora obter a relação para o número de Nusselt. Partindo do balanço integral de energia:

d d x ∫ 0 δ T u T ∞ - T d y = h ρ c p ( T ∞ - T s )

u ∞ d d x ∫ 0 δ T u u ∞ T ∞ - T T ∞ - T s d y = h ρ c p

u ∞ d d x ∫ 0 δ T y δ 1 7 1 - y δ t 1 7 d y = h ρ c p

u ∞ d d x ∫ 0 δ T y δ 1 7 - y 2 / 7 δ δ t 1 / 7 d y = h ρ c p

u ∞ d d x 7 8 y 8 7 δ 1 7 - 7 9 y 9 7 δ δ t 1 7 0 δ T = h ρ c p

u ∞ d d x 7 8 δ t 8 7 δ 1 7 - 7 9 δ t 8 7 δ 1 7 = h ρ c p

u ∞ d d x 7 72 δ t 8 7 δ 1 7 = h ρ c p

Assumindo δ = δ T :

u ∞ d d x 7 72 δ 8 7 δ 1 7 = h ρ c p

u ∞ d d x 7 72 δ = h ρ c p

u ∞ d δ d x = 72 7 h ρ c p

Passo 5

Substituindo a relação de espessura da camada limite que encontramos no item (a):

u ∞ d d x 0,375 u ∞ ϑ - 1 5 x 4 / 5 = 72 7 h ρ c p

u ∞ 0,375 u ∞ ϑ - 1 5 d d x x 4 / 5 = 72 7 h ρ c p

u ∞ 0,375 u ∞ ϑ - 1 5 4 5 x - 1 / 5 = 72 7 h ρ c p

u ∞ 0,375 u ∞ x ϑ - 1 5 4 5 = 72 7 h ρ c p

0,0291 R e x - 1 / 5 = h ρ c p u ∞

0,0291 R e x - 1 / 5 = h ρ c p u ∞ x x k k μ μ

0,0291 R e x - 1 / 5 = h x k μ ρ x u ∞ k μ c p

0,0291 R e x - 1 / 5 = N u x 1 R e x 1 P r

N u x = 0,0291 R e x - 1 / 5 R e x P r

N u x = 0,0291 R e x 4 / 5 P r

Passo 6

Finalmente, nosso último passo será obter o coeficiente de Nusselt médio. Assim como fizemos para o oeficiente de atrito:

h - = ∫ 0 x h d x ∫ 0 x d x

h - = 1 x ∫ 0 x h d x

h - = 1 x ∫ 0 x k x 0,0291 R e x 4 / 5 P r d x

h - = 1 x 0,0291 k P r ∫ 0 x 1 x u ∞ x ϑ 4 / 5 d x

h - = 1 x 0,0291 k P r u ∞ ϑ 4 / 5 ∫ 0 x x - 1 / 5 d x

h - = 1 x 0,0291 k P r u ∞ ϑ 4 / 5 5 4 x 4 / 5

h - = 0,0291 k P r 5 4 u ∞ ϑ 4 / 5 x - 1 / 5 x x

h - x k = 0 , 036 u ∞ x ϑ 4 / 5 P r

N u - x = 0,036 R e x 4 / 5 P r

Resposta

(a) C f , x = 0,0583 R e x - 1 / 5

C - f , x = 0,0729 R e x - 1 / 5

(b) N u x = 0,0291 R e x 4 / 5 P r

N u - x = 0,036 R e x 4 / 5 P r

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