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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 30

Considere o escoamento através de um mancai de bloco deslizante bidimensional, com altura de espaçamento decrescente de h 0   a   h L (Figura P 10-23), isto é ,   h = h 0 + α x , onde α é a convergência adimensional do espaçamento, α = ( h L -   h 0 ) / L . Notamos que t a n   α = α para valores muito pequenos de α . Assim, α é aproximadamente o ângulo de convergência da placa superior na Figura P10-23 ( α é negativo para esse caso). Suponha que o óleo esteja exposto à pressão atmosférica em ambas as extremidades do bloco deslizante, de modo que P = P 0 = P a t m , em x = 0 e P = P L = P a t m em x = L . Integre a equação de Reynolds (Problema 10-29) para esse mancal de bloco deslizante para gerar uma expressão para P em função de x .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Como o problema se baseia nos anteriores, assumimos também que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

3. Forças da gravidade são desconsideradas.

4. P não é função de y .

Para início, vamos lembrar da equação de Reynolds mostrada no problema 10-29.

d d x h 3 d P d x = 6 μ V d h d x

Passo 2

Fazendo a primeira integração, temos:

h 3 d P d x = 6 μ V h + C 1                               → d P d x =   6 μ V h - 2 + C 1 h - 3                   ( 1 )

onde C 1 é uma constante de integração. Em seguida, substituímos a equação dada para h:

d P d x =   6 μ V ( h 0 + α x ) - 2 + C 1 ( h 0 + α x ) - 3                                         ( 2 )

A equação 2 está na forma desejada, isto é, d P / d x em função de x . Podemos então integrar a Eq. 2, assim:

P = - 6 μ V α h 0 + α x - 1 - C 1 α h 0 + α x - 2 + C 2                   ( 3 )

Onde C 2 é uma segunda constante de integração.

Nós conectamos as duas condições de contorno em P mostradas no enunciado para encontrar as constantes C 1   e   C 2 , ou seja, P = P a t m em x = 0 e P = P a t m em x = L . Após alguma álgebra, os resultados são:

C 1 = - 12 μ V h 0 h L h 0 + h L                         e                           C 2 = P a t m + 6 μ V α h 0 + h L           ( 4 )

Com o qual geramos nossa expressão final para P a partir da Eq. 3. Então, substituindo os valores das constantes e reorganizando termos:

P = P a t m + 6 μ V x   h 0 - h L + α x h 0 + h L h 0 + α x 2

Resposta

Portanto

P = P a t m + 6 μ V x   h 0 - h L + α x h 0 + h L h 0 + α x 2

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