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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 28

Para o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23, use a equação da continuidade, condições de contorno apropriadas e o teorema unidimensional de Leibnitz (veja o Capítulo 4) para mostrar que:

d d x ∫ 0 h u   d y = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Assumimos primeiramente que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

Lembramos da equação de continuidade e resolvemos para v por integração:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0                   → ∫ 0 h ∂ u ∂ x   d y = - ∫ 0 h ∂ v ∂ y   d y                 → v h - v 0 = ∫ 0 h ∂ u ∂ x   d y         ( 1 )

Passo 2

Mas a condição antiderrapante nos diz que v = 0 nas placas inferior ( y = 0 ) e superior ( y = h ). Assim a Eq. 1 reduz para:

∫ 0 h ∂ u ∂ x   d y = 0                           ( 2 )

O teorema de Leibnitz 1-D é discutido no cap. 4, que é:

d d x ∫ a ( x ) b ( x ) G ( x , y )   d y = ∫ a b ∂ G ∂ x   d y + d b d x G x , b - d a d x G ( x , a )                     ( 3 )

No nosso caso (comparando as Eqs. 2 e 3), a = 0   ,     b = h   x     e     G = u . Assim:

d d x ∫ 0 h u   d y = ∫ 0 h ∂ u ∂ x   d y + d h d x u x , h                                 ( 4 )

Mas u ( h )   =   0 para todos os valores de x (condição de escorregamento). Finalmente, combinamos as Eqs. 2 e 4 para produzir o resultado desejado:

d d x ∫ 0 h u   d y = 0

Resposta

Portanto foi mostrado que:

d d x ∫ 0 h u   d y = 0

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