Considere o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23. (a) Gere uma escala característica para v , a componente y da velocidade. (b) Faça uma análise da ordem de grandeza para comparar os termos inerciais com os termos de pressão e viscosidade na equação do momento na direção x . Mostre que quando o espaçamento é pequeno ( h 0≪ L ) e o número de Reynolds é pequeno ( R e= ρ V h 0 / μ ≪1 ), a aproximação do escoamento lento é apropriada, (c) Mostre que quando h 0 ≪ L , as equações de escoamento lento podem ainda ser apropriadas mesmo que o número de Reynolds ( R e = ρ V h 0 / μ ) não seja menor do que 1. Explique.

Letra a) v~ V h 0 L Letras b e c) Demonstrações acima

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 24

Considere o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23. (a) Gere uma escala característica para , a componente da velocidade. (b) Faça uma análise da ordem de grandeza para comparar os termos inerciais com os termos de pressão e viscosidade na equação do momento na direção . Mostre que quando o espaçamento é pequeno () e o número de Reynolds é pequeno (), a aproximação do escoamento lento é apropriada, (c) Mostre que quando , as equações de escoamento lento podem ainda ser apropriadas mesmo que o número de Reynolds () não seja menor do que 1. Explique.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O problema pede que analisemos um mancal de bloco deslizante considerando o escoamento lento.

Assim, vamos assumir que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

3. Forças da gravidade são insignificantes.

Sendo feitas essas considerações,

Letra a) Usamos a equação de continuidade para obter a escala de velocidade característica para :

Como o Problema 10-23 mostrou que é proporcional a , que é proporcional a , e que a velocidade axial é uma função de e de , a equação pode ser reescrita como

Passo 2

Letra b) Analisamos as ordens de magnitude de cada termo na equação constante, bidimensional, incompressível e sem gravidade. Assim, lembrando da equação do momento encontrada no problema anterior:

E mais uma vez substituindo os termos proporcionais e as expressões equivalentes encontradas no problema 10-23, temos:

Onde também usamos o resultado do Problema 10-23. O primeiro termo viscoso da Eq. 2 é muito menor que o segundo termo viscoso desde . Multiplicamos a ordem de magnitude de todos os termos restantes por para comparar termos:

E suas respectivas ordens de magnitude:

Reconhecemos o número de Reynolds como .

Como a pressão e os termos viscosos contêm o produto de , que é grande para escoamento lento, e , que também é grande, é possível perceber que os termos inerciais (lado esquerdo da Eq. 3) são insignificantemente pequenas em comparação com a pressão e os termos viscosos.

Passo 3

Letra c) A pressão e os termos viscosos contêm o produto de como visto agora a pouco.

O interessante é, quando , as equações de escoamento lento ainda podem ser apropriadas, mesmo que o número de Reynolds não seja menor que um, justamente porque a razão terá um resultado muito grande.

Por exemplo, se , a pressão e termos viscosos ainda são três ordens de magnitude maiores que os termos inerciais, portanto as equações de escoamento lento podem ainda ser apropriadas.

Resposta

Letra a)

Letras b e c) Demonstrações acima

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