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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 24

Considere o mancal de bloco deslizante do Problema 10-23. (a) Gere uma escala característica para v , a componente y da velocidade. (b) Faça uma análise da ordem de grandeza para comparar os termos inerciais com os termos de pressão e viscosidade na equação do momento na direção x . Mostre que quando o espaçamento é pequeno ( h 0   ≪ L ) e o número de Reynolds é pequeno ( R e   = ρ V h 0 / μ ≪   1 ), a aproximação do escoamento lento é apropriada, (c) Mostre que quando h 0 ≪ L , as equações de escoamento lento podem ainda ser apropriadas mesmo que o número de Reynolds ( R e = ρ V h 0 / μ ) não seja menor do que 1. Explique.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

O problema pede que analisemos um mancal de bloco deslizante considerando o escoamento lento.

Assim, vamos assumir que:

1. O fluxo é constante e incompressível.

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

3. Forças da gravidade são insignificantes.

Sendo feitas essas considerações,

Letra a) Usamos a equação de continuidade para obter a escala de velocidade característica para v :

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como o Problema 10-23 mostrou que x é proporcional a L ( x   ~   L ) , que y é proporcional a h 0   ( y   ~   h 0 ) , e que a velocidade axial u é uma função de x e v de y , a equação pode ser reescrita como

V L + v h 0 = 0           →   v   ~ V h 0 L                       ( 1 )

Passo 2

Letra b) Analisamos as ordens de magnitude de cada termo na equação constante, bidimensional, incompressível e sem gravidade. Assim, lembrando da equação do momento encontrada no problema anterior:

ρ u ∂ u ∂ x + ρ v ∂ u ∂ y = - ∂ P ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + μ ∂ ² u ∂ y ²                               ( 2 )

E mais uma vez substituindo os termos proporcionais e as expressões equivalentes encontradas no problema 10-23, temos:

ρ V 2 L + ρ V h 0 L V h 0 ≈ - μ V h 0 2 + μ V L 2 + μ V h 0 2  

Onde também usamos o resultado do Problema 10-23. O primeiro termo viscoso da Eq. 2 é muito menor que o segundo termo viscoso desde h 0 < < L . Multiplicamos a ordem de magnitude de todos os termos restantes por L / ( ρ V ² ) para comparar termos:

ρ u ∂ u ∂ x + ρ v ∂ u ∂ y = - ∂ P ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ y 2                                     ( 3 )

E suas respectivas ordens de magnitude:

1 + 1 = μ ρ V h 0 L h 0 + μ ρ V h 0 L h 0                               → 1 + 1 = 1 R e L h 0 + 1 R e L h 0               ( 4 )

Reconhecemos o número de Reynolds como R e   =   ρ V h 0 / μ .

Como a pressão e os termos viscosos contêm o produto de 1 / R e , que é grande para escoamento lento, e L / h 0 , que também é grande, é possível perceber que os termos inerciais (lado esquerdo da Eq. 3) são insignificantemente pequenas em comparação com a pressão e os termos viscosos.

Passo 3

Letra c) A pressão e os termos viscosos contêm o produto de 1 / R e   e   L / h 0 como visto agora a pouco.

O interessante é, quando h 0 < < L , as equações de escoamento lento ainda podem ser apropriadas, mesmo que o número de Reynolds não seja menor que um, justamente porque a razão L / h 0 terá um resultado muito grande.

Por exemplo, se L / h 0   ~   10.000   e   R e   ~   10 , a pressão e termos viscosos ainda são três ordens de magnitude maiores que os termos inerciais, portanto as equações de escoamento lento podem ainda ser apropriadas.

Resposta

Letra a) v   ~ V h 0 L

Letras b e c) Demonstrações acima

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