Enunciado

Um “chip” retangular de microcircuito flutua sobre uma fina camada de ar, com espessura h = 0,5 mm, acima de uma superfície porosa. A largura do chip é b = 40 mm, conforme mostrado. O seu comprimento, L, é muito grande na direção perpendicular ao plano da figura. Não há escoamento na direção z. Considere que o escoamento na direção x, na fresta sob o chip, é uniforme. O escoamento é incompressível e os efeitos de atrito podem ser desprezados. Use um volume de controle adequadamente escolhido para mostrar que U(x) = qx/h na fresta. Encontre uma expressão geral (2D) para a aceleração de uma partícula fluida na fresta em função de q, h, x e y. Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão ∂p/∂x. Considere que a face superior do chip está sujeita à pressão atmosférica, e ache uma expressão para a força líquida de pressão no chip; essa força é voltada para cima ou para baixo? Explique. Determine a vazão q requerida (m3/s/m2) e a velocidade máxima, se a massa por unidade de comprimento do chip for 0,005 kg/m. Trace o gráfico da distribuição de pressão como parte da sua explicação sobre o sentido da força líquida.

Passo 1

Pessoal, vamos primeiro provar que U ( x ) = q   x / h . Tendo em vista que o escoamento é 2D, o fluido é incompressível e não há atrito.

Além disso, temos uma relação entre V e u, pois o volume deslocado na vertical é o mesmo que escoará pela horizontal. Veja o desenho:

V o l u m e   a n t e s = V o l u m e   d e p o i s

L x d y = L ( h - d y ) d x

Considerando a multiplicação d y d x muito pequena, podemos desprezá-la. Então:

L x y = L h d x

Derivando em função do tempo:

x d y d t = h d x d t

x q = h U

U = q x h

Passo 2

A equação da aceleração da partícula é dada pela equação:

a p = D V → D t = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

A expressão em x é dada por:

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Simplificando ( ∂ u ∂ t = 0 ;       w = 0 ):

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

De modo semelhante, temos para y:

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Passo 3

Para escoamento 2D, a equação da continuidade é dada por:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Substituindo o valor de u, temos:

∂ q x h ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

q h + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - q h

Para encontrar a velocidade v , vamos usar o conceito:

d v = ∂ v ∂ y d y

Substituindo e integrando a expressão:

∫ v 0 v d v = - q h ∫ 0 y d y

v - v 0 = - q h y

Como v 0 = q , ficamos com:

v - q = - q h y

v = q 1 - y h

Agora vamos voltar para as equações das acelerações.

Em x, substituindo os valores, ficamos com:

a x = q x h ∂ q x h ∂ x + q 1 - y h ∂ q x h ∂ y

a x = q 2 x h 2

Em y, substituindo os valores, ficamos com:

a y = q x h ∂ q 1 - y h ∂ x + q 1 - y h ∂ q 1 - y h ∂ y

a y = q 1 - y h - q h

a y = q 2 h y h - 1

A equação geral da aceleração será dada então por:

a p → = q 2 h 2 x   i ^ + q 2 h y h - 1 j ^

Passo 4

Para encontrar o gradiente de pressão, vamos usar a equação de Euler em x:

ρ a x = ρ g x - ∂ p ∂ x

Substituindo a x e sendo g x = 0 :

ρ q 2 x h 2 = - ∂ p ∂ x

∂ p ∂ x = - ρ q 2 x h 2

Fazendo a mesma coisa para y, o gradiente de pressão fica:

ρ a y = ρ g y - ∂ p ∂ y

Substituindo a x e sendo g y = 0 :

ρ q 2 h y h - 1 = - ∂ p ∂ y

∂ p ∂ y = ρ q 2 h 1 - y h

Passo 5

A distribuição de pressão em x pode ser encontrada integrando a equação do gradiente:

d p = ∂ p ∂ x d x

Basta substituir e integrar a expressão. OBS: pelo desenho vemos que U(x) muda o sentido de escoamento no meio da placa. Portanto, vamos pegar metade do intervalo x=b/2 .

∫ p a t m p d p = - ∫ b / 2 x ρ q 2 x h 2 d x

p - p a t m = - ρ q 2 2 h 2 x 2 - b 2 4

p ( x ) = p a t m + ρ q 2 2 h 2 b 2 4 - x 2

O gráfico da pressão será uma parábola com concavidade para baixo:

A equação geral da força é dada por:

F = ∫ p d A

Para a equação da força, podemos eliminar a pressão atmosférica da relação, pois todo o sistema está sob efeito da mesma. Substituindo os valores e lembrando que usamos apenas metade da placa, temos a expressão:

F y = 2 ∫ 0 b / 2 ρ q 2 2 h 2 b 2 4 - x 2 L d x

F y = 2 ρ q 2 L 2 h 2 b 2 4 x - 1 3 x 3 b / 2 0

F y = ρ q 2 L h 2 b 3 8   - 1 3 b 3 8  

F y = ρ q 2 b 3 L 12 h 2

A força então está na vertical.

Passo 6

É dado que a massa do chip por unidade de comprimento vale 0,005kg/m. Para relacionar este parâmetro com a força vertical, vamos balancear com a força da gravidade:

M c h i p g = F y

m L g = ρ q 2 b 3 L 12 h 2

q 2 = 12 h 2 g m ρ b 3

Substituindo os valores:

q 2 = 12 0,0005 2 ( 9,81 ) ( 0,005 ) ( 1,23 ) ( 0,04 ) 3

q 2 = 1,4715 6,4 ( 1,23 ) ∙ 10 - 7 10 - 5

q = 0,0432 m s

Substituindo q na equação da velocidade:

U = q x h

Vemos que é uma reta, isto é, a velocidade máxima será dada quando x for o maior valor, neste caso x=b/2:

U m a x = q b 2 h

U m a x = 0,0432 0,04 2 0,0005

U m a x = 1,73 m s

Resposta

U = q x h

a p → = q 2 h 2 x   i ^ + q 2 h y h - 1 j ^

∂ p ∂ x = - ρ q 2 x h 2

p ( x ) = p a t m + ρ q 2 2 h 2 b 2 4 - x 2

F y = ρ q 2 b 3 L 12 h 2

q = 0,0432 m s

U m a x = 1,73 m s

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