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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 92

Considere o campo de velocidade aproximado para o aspirador de pó do Problema 4-90. Calcule a velocidade de escoamento ao longo do piso. As partículas de poeira do piso têm mais chance de serem sugadas pelo aspirador de pó no local de velocidade máxima. Onde fica esse local? Você acha que o aspirador de pó realizará um bom trabalho ao sugar a poeira diretamente abaixo da entrada (na origem)? Por que sim ou por que não?

Passo 1

Temos que calcular a velocidade máxima do ar ao longo do aspirador, e encontrara a posição desta velocidade.

Assumindo que o fluxo é constante e que o fluxo opera em duas dimensões plano x , y .

Recomendo fortemente que você de uma olhada no problema 4-90, servira de inspiração e conclusões deste.

Para determinar a máxima velocidade no piso, note que isso significa trabalhar com a coordenada y = 0 . Portanto como vimos já no Problema 4-90, para equação de v se y = 0 , v = 0 , oque nos resta apenas uma coordenada para trabalhar. Vamos prosseguir colocando y = 0 na equação da coordenada x .

Passo 2

Tendo y = 0 e substituindo em u , temos:

u = - V ˙ x π L x 2 + y 2 + b 2 x 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2 b 2 + y 4 - 2 y 2 b 2 + b 4

u = - V ˙ x π L x 2 + b 2 x 4 + 2 x 2 b 2 + b 4

Simplificando a equação:

u = - V ˙ x π L x 2 + b 2 x 2 + b 2 2

u = - V ˙ x π L x 2 + b 2

Agora que temos a equação da componente x para y = 0 , podemos determinar a velocidade diferenciado à equação e igualando a zero.

d u d x = - V ˙ π L x x 2 + b 2 = 0

Derivando, utilizando a regra do quociente de derivada, temos:

d u d x = x x 2 + b 2

d x d x = 1

d x 2 + b 2 d x = 2 x

d u d x = 1 ∙ x 2 + b 2 - 2 x ∙ x x 2 + b 2 2

- x 2 + b 2 x 2 + b 2 2 = 0

Como temos duas funções dependentes de x igual a zero, f x g x = 0 , podemos simplificar da seguinte maneira:

f x g x = 0

f x = 0

Portanto,

- x 2 + b 2 = 0

x = ± b

Caso você desejar número para entender melhor você pode usar os número fornecidos da questão 4-91.

Passo 3

Após os cálculos que executamos, temos que a velocidade máxima se encontrar em x = b e x = - b . Nos pontos x = ± b era aonde nós esperávamos o melhor desempenho. Sobe a origem, diretamente abaixo do vácuo do aspirador, o fluxo é constante. Portanto, a respeito a nossa intuição, o vácuo do aspirador irá trabalhar apropriadamente diretamente abaixo da entrada.

Resposta

Após os cálculos que executamos, temos que a velocidade máxima se encontrar em x = b e x = - b . Nos pontos x = ± b era aonde nós esperávamos o melhor desempenho. Sobe a origem, diretamente abaixo do vácuo do aspirador, o fluxo é constante. Portanto, a respeito a nossa intuição, o vácuo do aspirador irá trabalhar apropriadamente diretamente abaixo da entrada.

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