Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 46
O escoamento de duto convergente é modelado pelo campo de velocidade em regime permanente e bidimensional do Problema 4-15. À medida que o seguimento de reta vertical se movimenta a jusante, ele encolhe do comprimento conforme a Figura P4-46. Gere uma expressão analítica para a variação de comprimento do segmento de reta . Observe que a variação no comprimento é negativa. (Sugestão: Use os resultados do Problema 4-45.)
Passo 1
Galera do exercício anterior, temos uma expressão para a alteração no comprimento do segmento de linha , sendo ela:
Mudança no comprimento do segmento de linha:
A definição fundamental de taxa de deformação linear é a taxa de aumento no comprimento de um segmento de linha por unidade de comprimento do segmento de linha.
Para o caso em questão, temos que:
Taxa de deformação linear na direção :
Passo 2
Utilizando as duas equações do Passo 1, onde iremos substituir a Eq. na Eq. 2 para obter:
Taxa de deformação linear na direção :
No limite de , aplicamos os dois primeiros termos da expansão em série para :
Expansão em série para :
Passo 3
Por fim, temos que para pequeno, aproximamos a derivada do tempo de , produzindo...
Taxa de deformação linear na direção :
Comparando com a equação de ...
Taxa de deformação linear na direção :
As equações concordam, verificando assim a nossa álgebra.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)