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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 58

Considere o campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional do Problema 4-55. Usando os resultados do Problema 4-55 ( a ) faça o seguinte:

( a ) Da definição fundamental de taxa de rotação (taxa de rotação média de duas retas inicialmente perpendiculares que se cruzam em um ponto), calcule a taxa de rotação da partícula de fluido no plano x y , ω z . (Sugestão: Use os lados inferior e esquerdo da partícula de fluido, que se cruzam a 90 ° no canto inferior esquerdo da partícula no instante inicial.)

( b ) Compare seus resultados com aqueles obtidos pelas equações para ω z em coordenadas cartesianas, ou seja

ω z = 1 2   ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y

Passo 1

Para resolução da questão ( a ) iremos precisar da taxa de rotação nas coordenadas cartesianas, que pode ser expressa como sendo:

ω z = 1 2   ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y

A partir da definição fundamental da taxa de rotação no plano x - y , consideramos a borda inferior e a borda esquerda da partícula fluida, que se cruzam a 90 ° no canto inferior esquerdo no momento t .

Passo 2

Definimos o ângulo β , na figura abaixo, onde   β é o negativo do ângulo de rotação da borda esquerda da partícula do fluido (negativo porque a rotação é matematicamente positiva no sentido anti-horário).

Passo 3

A partir da trigonometria podemos calcular o ângulo β ...

 n g u l o   β   n o   t e m p o   t   +   d t :

β = arctan ⁡ b d y d t d y = arctan ⁡ b d t ≈ b d t                 ( 2 )

A aproximação é válida para ângulos muito pequenos. Como o intervalo de tempo d t   →   0 , logo a equação 2 está correta.

Enquanto isso, a borda inferior da partícula de fluido não girou. Assim, o ângulo médio de rotação dos dois segmentos de linha (arestas inferior e esquerda) no tempo t   +   d t é expresso como sendo:

A V G = 1 2 0 - β ≈ - b 2 d t                       ( 3 )

Passo 4

Assim, a taxa média de rotação durante o intervalo de tempo d t se torna...

ω z = d A V G d t = 1 d t - b 2 d t = - b 2                       ( 4 )

( b ) Portanto da equação 1, podemos obter a seguinte formulação:

ω z = 1 2 ∂ u ∂ x - ∂ v ∂ y = 1 2 0 - b = - b 2                 ( 5 )

Ambos os métodos para obter a taxa de rotação concordam (Eq. 4 e Eq. 5).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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