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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 36

Considere o campo de velocidade em regime permanente, incompressível e bidimensional do Problema 4 - 35

( a ) Calcule a aceleração material no ponto ( x = 2   m ,   y = 3   m )

( b ) Esboce os vetores aceleração material no mesmo intervalo de valores x e y do Problema 4 - 36 .

Passo 1

O campo dito no problema 4 - 35 é:

V → = u , v = 1 + 2.5 x + y i → + - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y j →

Para encontrar a aceleração em um ponto específico nós temos que fazer:

a x = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

a y = ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Isso para duas dimensões, note que temos ∂ u em todos os numeradores para a aceleração no eixo x e ∂ v para todos os aceleradores no eixo y , então fazendo essa conta para a aceleração no eixo x nós temos:

a x = ∂ 1 + 2.5 x + y ∂ t + 1 + 2.5 x + y ∂ 1 + 2.5 x + y ∂ x

+ - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y ∂ ( 1 + 2.5 x + y ) ∂ y

Vendo que nem u e nem v dependem de t , então temos:

a x = 0 + ( 1 + 2.5 x + y ) 2.5 + ( - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y )

a x = 2 + 4.75 x

Agora para a y temos:

a y = ∂ - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y ∂ t + 1 + 2.5 x + y ∂ - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y ∂ x

+ - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y ∂ ( - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y ) ∂ y

a y = 0 - ( 1 + 2.5 x + y ) 1.5 - 2.5 ( - 0.5 - 1.5 x - 2.5 y )

a y = - 0.25 + 4.75 y

Então para x = 2 e y = 3 teremos:

a x = 2 + 4.75 ⋅ 2 = 11.5   m / s 2

a y = - 0.25 + 4.75 ⋅ 3 = 14   m / s 2

Passo 2

Plotando o campo vetorial de:

a = u , v = ( 2 + 4.75 x ,   - 0.25 + 4.75 y )

Nós teremos:

O que nos mostra vetores que apontam para cima e para a direita se olhando apenas para o primeiro quadrante.

Resposta

a )       a x = 11.5   m / s 2

a y = 14   m / s 2

b )   G r á f i c o   d o   P a s s o   2

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