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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 59

A função de corrente para o escoamento bidimensional permanente, incompressível sobre um cilindro circular de raio a e velocidade da corrente livre V ∞ é ψ = V ∞ sin ⁡ θ r - a 2 r para o

caso no qual o campo de escoamento é aproximado como irrotacional (Figura P 10 - 59 ). Gere uma expressão para função potencial de velocidade f para esse escoamento como uma função de r e θ e parâmetros V ∞ e a .

Passo 1

Bom, nesse problema vamos gerar a função potencial de velocidade. Os compontentes dado pela função corrente são:

u r = 1 r ∂ ψ ∂ θ = V ∞ cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2

u θ = - ∂ ψ ∂ r = - V ∞ sin ⁡ θ 1 + a 2 r 2

No plano r θ , as componentes podem ser:

u r = ∂ ϕ ∂ r = 1 r ∂ ψ ∂ θ e u θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ ψ ∂ r

Passo 2

Para a função de corrente, precisamos integrar o componente u r , associando ao componente da função corrente ∂ ϕ ∂ r = V ∞ cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2 e isolar ψ :

∂ ϕ = V ∞ cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2   ∂ r       ∴       ∫ 1 d ϕ = ∫ V ∞ cos ⁡ θ 1 - a 2 r 2     d r      

ϕ = V ∞ cos ⁡ θ r + a 2 r + f ( θ )

Assim, podemos diferenciar o resultado para θ :

u θ = 1 r ∂ ∂ θ V ∞ cos ⁡ θ r + a 2 r + f θ

u θ = - V ∞ sin ⁡ θ 1 + a 2 r 2 + f ' θ r

Assim, como f ( θ ) é uma constante e pode ser relevada, adotamos ela como zero. Logo, unindo os componentes:

ϕ = V ∞ cos ⁡ θ r + a 2 r

Prontinho!!

Resposta

ϕ = V ∞ cos ⁡ θ r + a 2 r

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