Enunciado

Considere um eixo de 5 cm de diâmetro girando a 5.600 rpm em um rolamento de 25 cm de comprimento, com folga de 0,5 mm. Determine a potência necessária para girar o eixo se o fluido na folga for (a) ar, (b) água, e (c) óleo a 40°C e 1 atm.

Passo 1

Em primeiro lugar vamos reunir as informações sobre os fluidos. As tabelas A-15, A-9 e A-13 do apêndice do livro fornecem informações do ar, água e óleo de motor a 40°C, respectivamente.

  • Ar:
  • ρ = 1,127   K g / m 3

    ϑ = 1,702 x 10 - 6   m 2 / s

  • Água:
  • ρ = 992,1   K g / m 3

    μ = 0,653 x 10 - 3 k g / m . s

  • Óleo:
  • ρ = 876   K g / m 3

    ϑ = 2,485 x 10 - 4   m 2 / s

    Para simplificar o problema vamos considerar o eixo e a superfície acima da folga como duas placas paralelas, uma fixa e outra se movendo vom uma velocidade V .

    Mas qual é a velocidade V ? Em um movimento circular podemos calcular V a partir de sua frequência de rotação ( f ) e o raio do eixo ( R ):

    V = 2 π f R

    V = 2 x π x 5600 x 2,5 x 10 - 2 60

    V = 14,66   m / s

    Passo 2

  • Vamos esquematizar todo o problema usando o ar e no fim, aplicaremos o mesmo esquema para as demais substâncias. O próximo passo é definir o regime de escoamento. Para uma placa plana:
  • R e = V x ϑ

    R e = 14,66 x 2 x π x 2,5 x 10 - 2 1,702 x 10 - 6

    R e = 1,35 x 10 6

    Com o R e podemos calcular o coeficiente de atrito adimensional:

    C f = 0,664 R e - 1 / 2

    C f = 0,664 x 1,35 x 10 6 - 1 2

    C f = 5,7 x 10 - 4

    O próximo passo é o cálculo da força de atrito ao longo da superfície do eixo:

    F f = C f A s ρ V 2 2

    F f = 5,7 x 10 - 4 x 2 x π x 2,5 x 10 - 2 x 25 x 10 - 2 x 1,127 x 14,66 2 2

    F f = 2,7 x 10 - 3 N

    Em seguida, podemos calcular o torque:

    τ = F f x L

    τ = 2,7 x 10 - 3 x 25 x 10 - 2

    τ = 6,8 x 10 - 4 N m

    A partir do torque podemos calcular a potência do eixo:

    P = τ x f

    P = 6,8 x 10 - 4 x 5600 60

    P = 0,06   W

    Passo 3

    Por fim, basta repetir o procedimento para a água e o óleo.

  • Considerando a água a 40°C:
  • R e = ρ V x μ

    R e = 992,1 x 14,66 x 2 x π x 2,5 x 10 - 2 0,653 x 10 - 3

    R e = 3,5 x 10 6

    Com o número de Reynolds podemos encontrar o coeficiente de fricção:

    C f = 0,664 R e - 1 / 2

    C f = 0,664 x 3,5 x 10 6 - 1 2

    C f = 3,5 x 10 - 4

    Em seguida, podemos calcular a força de atrito na superfície do eixo:

    F f = C f A s ρ V 2 2

    F f = 3,5 x 10 - 4 x 2 x π x 2,5 x 10 - 2 x 25 x 10 - 2 x 992,1 x 14,66 2 2

    F f = 1,49   N

    Depois disso, o torque:

    τ = F f x L

    τ = 1,49 x 25 x 10 - 2

    τ = 3,7 x 10 - 1 N m

    Por fim, encontramos a potência do eixo:

    P = τ x f

    P = 3,7 x 10 - 1 x 5600 60

    P = 34,7   W

  • Agora, considerando óleo de motor a 40°C:

R e = V x ϑ

R e = 14,66 x 2 x π x 2,5 x 10 - 2 2,485 x 10 - 4

R e = 9,27 x 10 3

A partir de R e calculamos o coeficiente de atrito:

C f = 0,664 R e - 1 / 2

C f = 0,664 x 9,27 x 10 3 - 1 2

C f = 6,9 x 10 - 3

O próximo passo é a determinação da força de cisalhamento:

F f = C f A s ρ V 2 2

F f = 6,9 x 10 - 3 x 2 x π x 2,5 x 10 - 2 x 25 x 10 - 2 x 876 x 14,66 2 2

F f = 25,5   N

Em seguida, o torque:

τ = F f x L

τ = 25,5 x 25 x 10 - 2

τ = 6,37 N m

Encerramos com o cálculo da potência do eixo:

P = τ x f

P = 6,37 x 5600 60

P = 594,95   W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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