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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 55

Considere o escoamento axissimétrico permanente incompressível ( r ,   z ) e u r ,   u z para o qual a função corrente é definida por u r = - 1 r ∂ ψ ∂ z e u z = 1 r ∂ ψ ∂ r . Verifique se ψ assim definida satisfaz a equação da continuidade. Que condições ou restrições são necessárias para ψ ?

Passo 1

O exercício quer saber se as velocidades u r (componente da velocidade paralela ao eixo r ) e u z (componente da velocidade paralela ao eixo z ) de um escoamento incompressível não violam a lei de conservação de massa (não violar a lei de conservação de massa é a mesma coisa que satisfazer a equação da continuidade). Ou seja, a questão quer saber se um escoamento com essas velocidades tem a sua massa conservada. Mas como podemos verificar isso?

Para verificar se a função corrente ψ desse escoamento incompressível e axissimétrico respeita a lei de conservação de massa, temos que substituir as expressões das velocidades na equação 9-28 do livro. A equação 9-28 do livro é justamente a equação de conservação de massa para escoamentos incompressíveis axissimétricos.

1 r ∂ r u r ∂ r + ∂ u z ∂ z = 0

Essa equação diz que, se a soma das derivadas das velocidades for igual a zero, então o escoamento conserva a sua massa.

Logo, podemos verificar se um escoamento satisfaz a equação da continuidade, substituindo as equações das suas velocidades na equação acima e verificando se o resultado dá zero. Se der, a equação da continuidade está sendo satisfeita.

Passo 2

Logo, precisamos substituir as expressões de u r e u z na equação.

1 r ∂ r u r ∂ r + ∂ u z ∂ z = 0       ⟹       1 r ∂ ∂ r r ⋅ - 1 r ∂ ψ ∂ z + ∂ ∂ z 1 r ∂ ψ ∂ r = 0

Na derivada parcial de r , existe r no numerador e no denominador. Logo, podemos cortar esses r ’s. Além disso, na derivada parcial de z tem a variável r . Como z é uma variável independente de r , r é considerada uma constante nessa derivada ∂ ∂ z . Logo, podemos tirar a variável r dessa derivada.

1 r ∂ ∂ r r ⋅ - 1 r ∂ ψ ∂ z + ∂ ∂ z 1 r ∂ ψ ∂ r = 0     ⟹   - 1 r ∂ ∂ r ∂ ψ ∂ z + 1 r ∂ ∂ z ∂ ψ ∂ r = 0

∂ ∂ r ∂ ψ ∂ z e ∂ ∂ z ∂ ψ ∂ r são derivadas de segunda ordem.

- 1 r ∂ ∂ r ∂ ψ ∂ z + 1 r ∂ ∂ z ∂ ψ ∂ r = 0     ⟹     - 1 r ∂ 2 ψ ∂ r ∂ z + 1 r ∂ 2 ψ ∂ z ∂ r = 0

Se a função de corrente ψ for uma função suave de r e z , essas duas derivadas de segunda ordem são iguais ∂ 2 ψ ∂ r ∂ z = ∂ 2 ψ ∂ z ∂ r . Em outras palavras, se a função ψ e as suas derivadas em relação a z e a r forem funções contínuas, ∂ 2 ψ ∂ r ∂ z = ∂ 2 ψ ∂ z ∂ r . Para esse caso, descobrimos que:

- 1 r ∂ 2 ψ ∂ r ∂ z + 1 r ∂ 2 ψ ∂ z ∂ r = 0       ⟹       - 1 r ∂ 2 ψ ∂ z ∂ r + 1 r ∂ 2 ψ ∂ z ∂ r = 0       ⟹       0 = 0

Resumindo tudo o que fizemos, descobrimos que a função corrente ψ satisfaz a equação de continuidade, substituindo as fórmulas das velocidades u r e u z na equação e verificando se o resultado dessa substituição deu zero. No caso, deu zero. Logo, ψ satisfaz a equação da continuidade.

Passo 3

A única condição que nós usamos para realizar nossos cálculos foi a condição de que tanto ψ quanto suas derivadas em relação a z e a r devem ser funções contínuas.

Resposta

ψ satisfaz a equação da continuidade. Tanto ψ quanto suas derivadas em relação a z e a r devem ser funções contínuas.

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