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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 38

Uma placa plana delgada, de comprimento L = 0,25 m e largura b = 1 m , é instalada em um túnel de água como uma divisora de fluxo. A velocidade de corrente livre é U = 1,75   m / s e o perfil de velocidade na camda limite é aproximado como parabólico. Trace δ ,   δ * e τ w versus x / L para a placa.

Passo 1

Vamos reunir as informações que o enunciado deu:

Comprimento da placa: L = 0,25   m

Largura da placa: b = 1   m

Velocidade de corrente livre: U = 1,75   m / s

Ele também diz que o perfil de velocidade é parabólico, ou seja, segue essa equação:

u U = 2 y δ - y δ 2

Precisamos encontrar a relação de x com a expessura de pertubação ( δ ) , a expessura de deslocamento ( δ * ) e a tensão na parede ( τ w ) .

Passo 2

Encontrando primeiro a relação entre x e δ , lembramos dessa equação:

δ x = 5,48 R e x

Sabendo que:

R e x = U x ν

Podemos substituir uma na outra, jogar o x para o outro lado e arrumar:

δ = 5,48   x   ν U x = 5,48 x ν U

Usando os dados do enunciado e considerando a vicosidade cinemática da água como ν = 1,01 ⋅ 10 - 6 m 2 / s a temperatura de 20 ° C :

δ = 5,48 1.01 ⋅ 10 - 6 x 1,75

Achamos a relação entre δ e x . 😊

Passo 3

Podemos achar uma relação entre δ ( x ) e δ * , através dessa integral:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

Sabendo que:

u U = 2 y δ - y δ 2

É só a gente substituir uma na outra e integrar:

δ * = ∫ 0 δ 1 - 2 y δ + y 2 δ 2 d y = y - y 2 δ + y 3 δ 2 ​ 0 δ = δ - δ + δ 3 = δ 3

Logo:

δ * = δ 3 = 5,48 3 1.01 ⋅ 10 - 6 x 1,75

Uhul! Conseguimos!

Passo 4

Vamos seguir uma ideia parecida para achar τ w .

A equação da tensão na parede para o caso de uma placa plana é:

τ w = 2 μ U δ

Sabendo a expressão de δ ( x ) , os dados do enunciado e considerando μ = 1,01 ⋅ 10 - 3 N ⋅ s / m ² como viscosidade dinâmica a 20 ° C .

τ w = 2,02 ⋅ 1,75 ⋅ 10 - 3 5,48 1.01 ⋅ 10 - 6 x 1,75

Passo 5

Com todas as expressões, a gente consegue montar os gráficos que o enunciado pediu. Ficam assim oh:

Resposta

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