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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 29

Considere um escoamento permanente, bidimensional, incompressível, de um fluido newtoniano no qual o capo de velocidade é conhecido: u = - 2 x y ,   v = y 2 - x 2 , w = 0 . (a) Esse escoamento satisfaz a conservação da massa? (b) Encontre o campo de pressão p(x,y) se a pressão no ponto ( x = 0 , y = 0 ) é igual a p a .

Passo 1

E tamo aqui de novo, bora fazer mais uma!

Vamo começar pela equação da conservação da massa, bora lá!

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ x + ∂ w ∂ x = ∂ ( - 2 x y ) ∂ x + ∂ ( y 2 - x 2 ) ∂ y + ∂ ( 0 ) ∂ z = - 2 y + 2 y + 0 = 0

Logo, equação da continuidade satisfeita demais!!

Passo 2

E partimos para Navier-Stokes! Bora lá! Analisando primeiramente em x:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

ρ [ - 2 x y - 2 y + y 2 - x 2 2 x = - ∂ p ∂ x + μ 0 + 0 + 0

∂ p ∂ x = - 2 ρ x y 2 + x 3

Para y:

ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2

ρ [ - 2 x y - 2 x + y 2 - x 2 2 y = - ∂ p ∂ y + μ - 2 + 2 + 0

∂ p ∂ y = - 2 ρ x 2 y + y 3

Passo 3

Bele, temos os dois gradientes, integrando-os para encontrar p(x,y), teremos:

p = ∫ ∂ p ∂ x d x ​ y = c o n s t a n t e = - 2 ρ x 2 y 2 2 + x 4 4 + f y

Temos,

∂ p ∂ y = - 2 ρ x 2 y + d f d y = - 2 ρ ( x 2 y + y 3 )

em que, d f d y = - 2 ρ y 3 → f y = - ρ 2 y 4 + C .

Daí,

p = - ρ 2 2 x 2 y 2 + x 4 + y 4 + C = p a

Quando, x , y = 0,0 → C = p a

Portanto,

p = p a - 1 2 ρ ( 2 x 2 y 2 + x 4 + y 4 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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