Enunciado

Considere o escoamento de Poiseouille e bidimensional, laminar desenvolvido, — o escoamento entre duas placas paralelas finitas separadas pela distância h , com a as placas superior e inferior fixas, e um gradiente de pressão forçado d P d x movendo o escoamento, como ilustra a Figura P 7 - 81 . ( d P d x é constante e negativo). O escoamento é incompressível, e bidimensional no plano x y . O escoamento também é completamente desenvolvido, significando que o perfil de velocidade não varia com a distância a jusante, x . Devido à natureza copletamente desenvolvida do escoamento, não há efeitos inerciais e a densidade não entra no problema. Acontece que u , o componente da velocidade na direção x , é uma função da distância h , do gradiente de pressão d P d x , da viscosidade do fluido μ e da coordenada vertical y . Faça uma análise dimensional (mostrando todo o seu trabalho) e gere uma relação adimensional entre as variáveis dadas.

Passo 1

Bom, gente, essa questão segue um modelo de como pode ser resolvida. Basicamente, ela é feita por 6 etapas e o nosso objetivo aqui é apresentar todas essas etapas e encontrar uma relação entre as variáveis.

Passo 2

Vamos lá, o primeiro passo consiste em listar os parâmetros. Existem 5 parâmetros nesse problema, são eles:

u = f ( d P d x , h , u , y )

No segundo passo, temos as seguintes dimensões primárias dos parâmetros:

h = L 1

μ = m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 1

u = L 1 t - 1

y = L 1

d P d x = m 1 ∙ L - 2 ∙ t - 2

Passo 3

No terceiro passo, como primeira tentantiva tomamos j = 3 que corresponde a quantidade de dimensões primárias do problema ( m ,   L , t ) . Se este valor de j , estiver certo, o numero de Π ' s esperado é

k = n - j = 5 - 3 = 2

Passo 4

No quarto passo, nós precisamos escolher 3 parametros repetidos. Não podemos escolher h e y pois eles tem as mesmas dimensões. Assim, a nossa opção é:

d P d x , h , μ

Passo 5

No quinto passo, geramos o primeiro Π com a variável dependente:

Π 1 = u × h a × d P d x b × μ c                 ∴               Π 2 = { L 1 t - 1 L 1 a m 1 ∙ L - 2 ∙ t - 2 b m 1 ∙ L - 1 ∙ t - 1 c }

Calculando os expoentes para cada dimensão:

Massa: m 0 = m b ∙ m c               ∴             b + c = 0

Tempo: t 0 = t - 1 ∙ t - 2 b ∙ t - c                   ∴                 0 = - 1 - 2 b - c             ∴           b = - 1

Comprimento: L 0 = L 1 ∙ L a ∙ L - 2 b ∙ L - c                     ∴                     0 = 1 + a - 2 b - c                 ∴               a = - 2

Resolvendo o sisteminha:

{ b + c = 0 - 2 b - c = 1

b = - 1       e   c = 1

Consequentemente, a = - 2 .

Substituindo no Π 1 :

Π 1 = u × h - 2 × d P d x - 1 × μ 1 = u μ h 2 d P d x

Passo 6

No sexto passo, nós precisamos gerar o independente, para isso usamos os parametros repetidos, que são os que nos restaram:

Π 2 = y h

Assim, nós podemos unir todos os Π ' s da seguinte forma:

Π 1 = f ( Π 2 )

Π 1 = u μ h 2 d P d x = f ( y h )

Prontinho!!

Resposta

u μ h 2 d P d x = f ( y h )

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