Considere o ar escoando sobre um hemisfério assentado sobre uma superfície plana, como na figura a seguir. Se a pressão interna é p i , encontre uma expressão para a força de pressão sobre o hemisfério. Por analogia com o problema 8.49, em que ponto A sobre o hemisfério se deve perfurar um orifício de modo que a força de pressão seja zero segundo a teoria não viscosa?

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Então vou mostrar pra vocês que mecânica dos fluidos não é nem de longe um bicho de 7 cabeças (nem de perto também)!

Vamos chamar a equação 8.100 que diz que a velocidade ao longo de uma superfície esférica pode ser dada por:

V s = 3 2 U ∞   s e n θ

Além disso o livro também nos diz que a força que atua na parte superior pode ser dada pela seguinte equação abaixo.

F s u p e r i o r = ∫ 0 π / 2 ( p i - p s ) 2 π a   s e n θ   a   d θ   c o s θ

Passo 2

Mas quem é essa pressão de superfície? É o que chamamos de pressão de Bernoulli, que também temos a equação prontinha já no livro!!!

p s = p o - ρ 2 3 2 U ∞ s e n θ 2

Resolvendo nossa equação da força ali do passo 1, já substituindo p s , a gente vai ter a força com essa carinha aí embaixo ó:

F = π a 2 p i - p o + 9 π 16 ρ U ∞ 2 a 2

Passo 3

A força deve ser igual a ZERO se nos colocarmos um orifício ali no ponto A θ = θ A , tal que:

π a 2 p o - p i = 9 π 16   ρ U ∞ 2 a 2

p o - p i = 9 16 ρ U ∞ 2

Onde o subíndice “i” indica o nosso ponto de interesse de estudo, ou seja, o nosso ponto A!!

p A = p o - 9 16 ρ U ∞ 2 = p o - ρ 2 V A 2

- 9 16 ρ U ∞ 2 = - ρ 2 V A 2

Ou melhorando isso aí que escrevemos, podemos ter que V A = 9 8 U ∞

V A = 1,061 U ∞ = 3 2 U ∞ s e n θ A

Resolvendo nossa igualdade temos que θ A = 45 ° ouuuuu 135°

Resposta

θ = 45 °   o u   135 °

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