Considere uma esfera de de diâmetro, um cubo com lado de de comprimento e um prisma retangular de dimensões , todos inicialmente a e todos feitos de prata (, , ), Agora tosos os três sólidos são expostos ao ar ambiente a em todas suas superfícies com coeficiente de transferência de calor de . Determine o tempo necessário para que a temperatura de cada sólido aumente para .

Fala galera!!

Para responder esse exercício, precisamos primeiro calcular o número de Biot para saber se podemos aplicar a analise para sistema aglomerado. Podemos calcular Biot da seguinte maneira:

Aqui,  é o coeficiente de transferência de calor,  o comprimento característico e  é a condutividade térmica da barra de cobre. Para isso, vamos precisar calcular o comprimento característico para cada sólido.

Para esfera:

Podemos encontrar o comprimento da característica da esfera usando a seguinte equação:

Aqui,  é o volume da esfera,  é a área da esfera e  é o diâmetro da esfera.

Substituo , para .

Temos então que Biot é:

Aqui, o número de Biot é menor que , portanto, a análise do sistema aglomerado é aplicável. Já que Biot é menor que , podemos calcular o tempo necessário para que a temperatura de cada sólido aumente para da se seguinte formula:

Podemos fazer umas mudanças nela da seguinte forma:

onde

Substituindo temos:

Aqui,  é a temperatura uniforme inicial, é a temperatura da corrente de ar, é a temperatura no momento , é o comprimento característico,  é a densidade, é o coeficiente de transferência de calor e é o calor específico.

Agora, é só substituímos os valores fornecidos na equação acima. Assim temos:

Portanto, o tempo necessário para que a temperatura da esfera aumente para é .

Para cubo:

Podemos encontrar o comprimento da característica do cubo usando a seguinte equação:

Aqui,  é o volume do cubo,  é a área do cubo e  é um dos lados do cubo.

Substituo , para .

Temos então que Biot é:

Aqui, o número de Biot é menor que , portanto, a análise do sistema aglomerado é aplicável. Já que Biot é menor que , podemos calcular o tempo necessário para que a temperatura do cubo aumente para usando a mesma ideia que foi usada na esfera. Assim temos:

Agora, é só substituímos os valores fornecidos na equação acima. Assim temos:

Portanto, o tempo necessário para que a temperatura do cubo aumente para é .

Para prisma retangular:

Podemos encontrar o comprimento da característica do prisma usando a seguinte equação:

Aqui,  é comprimento,  é largura e  é altura do prisma. Substituindo por , por e por .

Temos então que Biot é:

Aqui, o número de Biot é menor que , portanto, a análise do sistema aglomerado é aplicável. Já que Biot é menor que , podemos calcular o tempo necessário para que a temperatura do prisma aumente para usando a mesma ideia que foi usada na esfera. Assim temos:

Agora, é só substituímos os valores fornecidos na equação acima. Assim temos:

Portanto, o tempo necessário para que a temperatura do prisma aumente para é .