Enunciado

Fios de alumínio de 4 mm de diâmetro são produzidos por extrusão. Os fios deixam a extrusora a uma temperatura média de 350°C e a uma taxa linear de 10 m m i n . Antes de sair da sala de extrusão, os fios são resfriados a uma temperatura média de 50°C por meio de transferência de calor para o ar a 25 ° C com um coeficiente de transferência de calor de 50 W m 2 K . Calcule o comprimento necessário da seção de resfriamento do fio na sala de extrusão.

Passo 1

Vamoo que vamooo!!

Primeiro, nós queremos achar o que?

O comprimento, certo?

Mas antes de qualquer coisa precisamos saber o número de Biot:

B i = h L c k

Sabemos que:

h = 5 0 W m 2 K

E para o alumínio:

k = 237 W m K

Agora nós precisamos do comprimento característico do fio:

L c = V A s

Lembrando que:

V = π D 2 L 4

E:

A = π D L

Então:

L c = π D 2 L 4 π D L = D 4

Se:

D = 4   m m = 0,004   m

Então:

L c = 0,004   m 4 = 0,001   m

Agora é só calcular o Biot:

B i = 50 W m 2 K 0,00 1   m 237 W m K = 0,00 0210

Como o B i < 0,1 nós podemos fazer a análise do sistema agrupado.

Querem saber como?

T - T α T i - T α = e - b t

Se:

b = h A ρ c p L c

Então:

T - T α T i - T α = e - h A t ρ c p L c

Passo 2

Agora que temos a fórmula nós só precisamos ver quais dados nós temos, não é?

T = 5 0 ° C

T α = 25 ° C

T i = 350 ° C

A = 1   m ²

h = 50 W m 2 K

E para o alumínio:

ρ = 2701 k g m 3

c p = 903 J k g K

L c = 0,00 1   m

Agora é só substituir:

5 0 ° C - 25 ° C 350 ° C - 25 ° C = e - 5 0 W m 2 K 1   m ² t 2702 k g m 3 9 0 3 J k g K 0,001   m

0 , 0769 = e - 0,02 04 . s - 1 t

Vamos aplicar o ln:

- 0,0204 . s - 1 t = - 2 , 565

t = 125,75   s

Em minuto:

t = 125,75   s × 1   m i n 60   s = 2,0958   m i n

Acabamos, não é?

Claaro que não!! Nós queremos o comprimento!!

Bora ver como?

Passo 3

Como nós temos a taxa linear de 10 m m i n , então:

T a x a = L t

Sabendo que:

T a x a = 10 m m i n

t = 2,0958   m i n

Substituindo:

10 m m i n = L 2,0958   m i n

L = 20,9   m

E finalizamos mais uma galerinhaa!!

Resposta

20,9   m

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