Considere os fardos cilíndricos de feno no Problema 3.82. É proposto usar a geração microbiológica de energia associada ao feno molhado para aquecer água. Considere um tubo com de diâmetro, com parede delgada, inserido na direção longitudinal no centro de um fado cilíndrico. O tubo transporta água a , com .

(a) Determine a taxa de transferência de calor, em regime estacionário, para a água, por unidade de comprimento do tubo.

(b) Represente graficamente a distribuição radial de temperaturas no feno, .

(c) Represente graficamente a transferência de calor para a água, por unidade de comprimento do tubo, para diâmetros do fardo na faixa .

PRESSUPOSTOS:

(1) Condições em estado estacionário;

(2) Propriedades constantes;

(3) Transferência de calor unidimensional;

(4) Geração volumétrica uniforme;

(5) Radiação desprezível;

(6) Condução desprezível de ou para o solo.

DADOS FORNECIDOS:

Diâmetro do fardo cilíndrico de feno:

Raio do fardo cilíndrico de feno:

Diâmetro do tubo:

Raio do tubo:

Condutividade térmica do feno no fardo:

Taxa volumétrica de geração de calor uniforme para o feno molhado:

Temperatura ambiente:

Coeficiente de transferência de calor por convecção:

Temperatura da água que passa no tubo:

Coeficiente de transferência de calor do tubo para a água:

Para resolver esse problema, vamos precisar da distribuição de temperatura para um cilindro em que ocorre a geração interna de calor. Podemos obter utilizando a solução geral dada pela Eq. 3.56 com condições de contorno mistas aplicadas em e . Especificamente,

Para :

Para

Temos que a Eq. 3.56 é a seguinte:

Aqui, é o calor interno gerado, é a condutividade térmica do material, é o raio do cilindro e e são as constantes de integração.

Agora vamos procurar e aplicando as condições de contorno. Pela primeira condição temos o seguinte:

Substituindo os temos da expressão acima, temos:

Pela segunda condição temos o seguinte:

Substituindo os temos da expressão acima, temos:

Subtraindo a equação encontrada no passo 4 com a equação encontrada no passo 5, temos o seguinte:

Substituindo os temos da equação acima pelos dados fornecidos, temos que é o seguinte:

Da equação encontrada no passo 5 temos o seguinte:

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos o seguinte:

Temos então que:

Substituindo na solução geral da distribuição de temperatura temos que a equação fica da seguinte maneira:

Substituindo e , temos que a equação fica da seguinte forma:

(a) Com a equação da distribuição de temperatura, vamos calcular a temperatura na superfície interna do tubo de parede fina. Assim, para temos o seguinte:

Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor em estado estacionário usando a equação de convecção. Assim temos:

Aqui, é o coeficiente de convectivo ente a água e o tubo, é a área da superfície interna, é a temperatura da superfície do tubo, é temperatura da água, é o raio do tubo e é a taxa de transferência de calor por comprimento do tubo. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos temos:

Portanto, a taxa de transferência de calor em estado estacionário é .

(b) Agora, vamos representar graficamente a distribuição radial de temperaturas no feno, . Para isso, vamos calcular o raio do feno úmido na temperatura máxima.

A temperatura quando é é a seguinte:

Usando a distribuição de temperatura que encontramos podemos fazer a seguinte tabela:

Com a tabela podemos traçar a distribuição radial da temperatura no feno. Assim temos:

(c) Para resolver essa questão, vamos precisar de da equação que encontramos para

da equação que encontramos para

da solução geral da distribuição de temperatura que encontramos

e também da equação para a taxa de transferência de calor

Com essas 4 equações, nós podemos fazer a seguinte tabela em função do raio feno .

Agora, podemos plotar o gráfico da transferência de calor por unidade de comprimento do tubo para a água em função do diâmetro do feno. Neste caso representamos pelo raio.