Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta. Sua superfície externa está exposta a um fluido a , com um coeficiente convectivo de . Na parede intermediária há geração uniforme de calor a uma taxa , enquanto não existe geração nas paredes e . As temperaturas nas interfaces são e .

(a) Supondo resistências de contato desprezíveis nas interfaces, determine a taxa volumétrica de geração de calor e a condutividade térmica .

(b) Represente graficamente a distribuição de temperaturas, mostrando suas características importantes.

(c) Considere condições que correspondam à perda de refrigerante na superfície exposta do material . Determine e e represente a distribuição de temperaturas ao longo de todo o sistema.

(a) Para resolver essa questão, vamos começar desenhando o circuito térmico para a parede A. Assim temos:

Com o circuito térmico desenhado, podemos dizer que a transferência de calor por unidade de área da parede A pode ser dada pela seguinte relação:

Aqui, é a temperatura na interface, é a temperatura ambiente, é o coeficiente de transferência de calor por convecção, é a espessura da parede A e é a condutividade térmica da parede A. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

Agora, vamos desenhar o circuito térmico para a parede C. Assim temos:

Com o circuito térmico desenhado, podemos dizer que a transferência de calor por unidade de área da parede C pode ser dada pela seguinte relação:

Aqui, é a temperatura na interface, é a temperatura ambiente, é o coeficiente de transferência de calor por convecção, é a espessura da parede C e é a condutividade térmica da parede C. Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

Podemos desenhar as taxas de fluxo de energia para a parede B da seguinte forma:

Em que, ao aplicarmos a equação de energia na parede B vamos obter o seguinte:

Aqui, é a energia que entra na parede B,  é a energia que sai da parede B, é a energia gerada na parede B e é a energia acumulada. Temos que não ocorre acúmulo e nem entrada de energia, logo esses termos são iguais a zero, temos também que a energia que são é . Assim, temos o seguinte:

Podemos dizer também que a energia gerada na parede B pode ser dada pela seguinte relação:

Aqui, é a geração volumétrica de calor na parede e é a espessura da parede B. Substituindo, temos:

Portanto, a geração volumétrica de calor na parede B é .

Para determinar , podemos usar a equação da distribuição de temperatura para parede plana (Eq. 3.46) na parede B e a distribuição de fluxo de calor na parede B. Ou seja:

e

Podemos agora derivar a distribuição de temperatura, substituir na equação da distribuição de fluxo de calor na parede B e aplicar as condições de contorno para encontrar . Derivando, temos:

Substituindo temos o seguinte:

Aplicando a condição de contorno, temos que quando , . Substituindo, temos:

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos temos o seguinte:

Portanto, a condutividade térmica da parede B é .

(b) Queremos representar graficamente a distribuição de temperaturas nas paredes A, B e C. Temos que a distribuição de temperatura na parede B é dada pela seguinte equação:

Também temos que a distribuição de temperaturas para uma parede plana sem geração de energia pode ser dada pela equação 3.3. Então, para a parede A temos o seguinte:

e para a parede C, temos o seguinte:

Podemos encontrar usando a seguinte expressão:

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

Podemos encontrar usando a seguinte expressão:

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos o seguinte:

Agora, vamos substituir todos os dados obtidos anteriormente, nas expressões de distribuição de temperaturas das paredes A, B e C. Assim, temos o seguinte:

Agora, usando as equações acima, podemos plotar o gráfico. Assim temos:

Características importantes:

(1) a distribuição é quadrática em B, mas não simétrica; linear em A e C;

(2) Como as condutividades térmicas dos materiais são diferentes, existem descontinuidades em cada interface;

(3) Comparando os gradientes em e , podemos perceber que .

(c) Temos que a taxa de transferência de calor no lado A é igual a zero, isso é devido ao coeficiente de transferência de calor ser igual a zero ao longo da superfície A exposta ao ambiente. Assim, a taxa de transferência de calor do lado C igual à taxa de geração de calor em B. Ou seja:

Podemos então encontrar a temperatura da superfície exposta ao ambiente da parede C usando a seguinte equação:

Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos, temos:

Agora, Podemos encontrar a temperatura da interface entre as paredes B e C usando a seguinte relação:

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos o seguinte:

Portanto a temperatura na interface BC é .

Agora, vamos encontrar a temperatura na interface entre as paredes A e B. Para isso, vamos usar a distribuição de temperatura na parede B e também a distribuição de fluxo de calor na parede B.

e

Podemos agora derivar a distribuição de temperatura, substituir na equação da distribuição de fluxo de calor na parede B e aplicar as condições de contorno para encontrar . Derivando, temos:

Substituindo temos o seguinte:

Aplicando a condição de contorno, temos que quando , . Substituindo, temos:

Temos que não a taxa de transferência de calor no lado A é igual a zero, ou seja, . Substituindo os termos da equação acima pelos dados obtidos temos o seguinte:

Portanto a temperatura na interface AB é .

Podemos encontrar usando a seguinte expressão:

Como foi dito acima, . Assim temos:

Da mesma forma que fizemos na letra (b), agora, vamos substituir todos os dados obtidos anteriormente, nas expressões de distribuição de temperaturas das paredes A, B e C. Assim, temos o seguinte:

Agora, usando as equações acima, podemos plotar o gráfico. Assim temos: