Enunciado

Considere um forno circular que tem 0,5   m de comprimento e 0,5   m de diâmetro. As duas extremidades têm superfícies cinzas e difusas, que são mantidas a 400 e 500   K , com emissividades de 0,4 e 0,5 , respectivamente. A superfície lateral também é cinza e difusa, com uma emissividade de 0,7 e uma temperatura de 800   K . Determine a transferência radiante líquida em cada uma das superfícies.

Passo 1

Começamos o nosso problema explicitando a equação que utilizaremos para calcularmos a taxa de transferência de calor radiante líquida:

q 1 = ∑ j = 1 N J i - J j A i F i j - 1

Sabendo que:

q i = E b , i - J i 1 - ε i ε i A i

Igualando essas equações:

E b , i - J i 1 - ε i ε i A i = ∑ j = 1 N J i - J j A i F i j - 1

Simplificando as áreas:

E b , i - J i 1 - ε i ε i = ∑ j = 1 N J i - J j F i j - 1

Agora, vamos colocar essa equação para cada caso!

Passo 2

C a s o   1 :

E b , 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 = J 1 - J 2 F 12 - 1 + J 1 - J 3 F 13 - 1

C a s o   2 :

E b , 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 = J 2 - J 1 F 21 - 1 + J 2 - J 3 F 23 - 1

C a s o   3 :

E b , 3 - J 3 1 - ε 3 ε 3 = J 3 - J 1 F 31 - 1 + J 3 - J 2 F 32 - 1

Vamos obter os fatores de forma!

Passo 3

As superfícies 1 e 2 são paralelas coaxiais, para descobrirmos F 12 , vamos usar as relações da Tabela 13.2, depois disso outras relações para descobrir os outros fatores de forma:

R 1 = R 2 = r L = 0,5 2 0,5 = 0,5

S = 1 + 1 + R 2 2 R 1 2 = 1 + 1 + 0,5 2 0,5 2 = 6

Calculando F 12 :

F 12 = 1 2 S - S 2 - 4 D 2 D 1 2 1 2 = 1 2 6 - 6 2 - 4 0,5 0,5 2 1 2 = 0,17

Pela regra da simetria:

F 12 = F 21

Pela regra da soma:

F 13 = 1 - 0,17 = 0,83

Novamente pela simetria:

F 13 = F 23 = 0,83

Só faltam F 31 e F 32 , que são iguais pela regra da simetria:

A 3 F 31 = A 1 F 13

Calculando:

F 31 = A 1 A 3 F 13 = π ⋅ 0,5 2 4 π ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 083 = 0,21

Passo 4

Voltamos nas equações do Passo 2, substituindo os dados:

C a s o   1 :

5,67 × 10 - 8 ⋅ 400 4 - J 1 1 - 0,4 0,4 = J 1 - J 2 0,17 - 1 + J 1 - J 3 0,83 - 1

1451,52 - J 1 = 0,255 J 1 - J 2 + 1,245 ( J 2 - J 3 )

2,5 J 1 - 0,255 J 2 - 1,245 J 3 = 1451,52

C a s o   2 :

5,67 × 10 - 8 ⋅ 500 4 - J 1 1 - 0,5 0,5 = J 2 - J 1 0,17 - 1 + J 2 - J 3 0,83 - 1

2 J 2 - 0,17 J 1 - 0,83 J 3 = 3544

C a s o   3 :

5,67 × 10 - 8 ⋅ 800 4 - J 3 1 - 0,8 0,8 = J 3 - J 1 0,21 - 1 + J 3 - J 2 0,21 - 1

1,105 J 3 - 0,0525 J 1 - 0,0525 J 2 = 23224,32

Então, temos:

2,5 J 1 - 0,255 J 2 - 1,245 J 3 = 1451,52

2 J 2 - 0,17 J 1 - 0,83 J 3 = 3544

1,105 J 3 - 0,0525 J 1 - 0,0525 J 2 = 23224,32

Resolvendo esse sistema, obtemos:

J 1 = 11251 , 3   W / m 2

J 2 = 9641 , 7   W / m 2

J 3 = 20501 , 6   W / m 2

Passo 5

Finalmente podemos obter as taxas de transferência de calor radiante líquida que queremos.

C a s o   1 :

q 1 = 5,67 × 10 - 8 ⋅ 400 4 - 11251 , 3 1 - 0,4 0,4 ⋅ π ⋅ 0,5 2 4 = - 1283   W

C a s o   2 :

q 2 = 5,67 × 10 - 8 ⋅ 500 4 - 9641 , 7 1 - 0,5 0,5 ⋅ π ⋅ 0,5 2 4 = - 1197   W

C a s o   3 :

q 2 = 5,67 × 10 - 8 ⋅ 800 4 - 20501 , 6 1 - 0,8 0,8 ⋅ π ⋅ 0,5 2 4 = 2138   W

E assim a gente finaliza a nossa questão.

Até a próxima!

Resposta

q 1 = - 1 283   W

q 2 = - 1197   W

q 3 = 2138   W

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