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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 72

Considere o perfil empírico de velocidade de “lei de potência” para escoamento turbulento em tubo, Eq. 8.22. Para n   =   7 , determine o valor de r / R para o qual u é igual à velocidade média. Trace um gráfico dos resultados na faixa de 6   ≤   n   ≤   10 e compare com o caso de escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo, Eq. 8.14.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de Mecânica dos fluidos. Primeiramente, sabemos que:

V - = Q A = 1 A ∫ u   d A

Para um escoamento laminar:

V - = 1 π R 2 ∫ 0 R U 1 - r R 2 2 π r d r = 2 U ∫ 0 1 1 - r R 2 r R d r R      

V - = 2 U 1 2 r R 2 - 1 4 r R 4 1 0

Como V - = u   quando 1 - r R 2 = V - U = 1 2 ,   logo:

r R = 0,707

Passo 2

Agora, para um escoamento turbulento, temos que:

V - = 1 π R 2 ∫ 0 R U 1 - r R 1 n 2 π r d r

V - = 2 U ∫ 0 1 1 - r R 1 n r R   d r R 0

Supondo que:

m = 1 - r R

r R = 1 - m

d r R = - d m

Logo:

V - = 2 U ∫ 1 0 m 1 n 1 - m - d m = 2 U ∫ 0 1 m 1 n - m 1 + 1 n d m

Resolvendo a integral:

V - = U 2 n 2 n + 1 2 n + 1

Para n = 7 :

V - = 0,817 U

Como u = V -   quando 1 - r R 1 n = 0,817 :

r R = 1 - 0,817 2 = 0,758  

Passo 3

Da equação 8.24:

1 - r R 1 n = 2 n 2 n + 1 2 n + 1

r R = 1 - 2 n 2 n + 1 2 n + 1 n

Plotando o gráfico no intervalo pedido:

Resposta

r R = 0,707

r R = 0,758  

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