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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 45

Considere a rede para um sistema bidimensional sem geração volumétrica interna com temperaturas nodais mostradas abaixo. Se o espaçamento da grade for de 100   m m e a condutividade térmica do material for 50   W / m ⋅ K , calcule a taxa de calor por unidade de comprimento normal para a página da superfície isotérmica T s .

Passo 1

Fala galera!! Bora resolver mais uma questão comigo??

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condições de estado estacionário.

(2) Transferência de calor bidimensional.

(3) Nenhuma geração volumétrica interna.

(4) Propriedades constantes.

Os dados fornecidos foram:

Espaçamento da grade: 100   m m

Condutividade térmica do material: k = 50   W / m ⋅ K

Passo 2

Aqui, podemos começar fazendo um esboço do volume de controle ao redor do contorno isotérmico e verificar quais são as taxas que atravessam o volume de controle:

O balanço de energia em regime estacionário para esse sistema é:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a d o = 0

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = 0

q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + q 7 - q s = 0

q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + q 7 = q s

Passo 3

Vamos agora descrever cada item das taxas:

q 1 = k A 1 L 1 ∆ T 1 = k ∆ x 2 ⋅ 1 ∆ y T 1 - T s

q 2 = k A 2 L 2 ∆ T 2 = k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 2 - T s

q 3 = k A 3 L 3 ∆ T 3 = k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 3 - T s

q 4 = k A 4 L 4 ∆ T 4 = k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 4 - T s

q 5 = k A 5 L 5 ∆ T 5 = k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 5 - T s

q 7 = k A 7 L 7 ∆ T 7 = k ∆ y 2 ⋅ 1 ∆ x T 7 - T s

Passo 4

Substituindo no balanço, temos:

q s = k ∆ x 2 ⋅ 1 ∆ y T 1 - T s + k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 2 - T s + k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 3 - T s + k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 4 - T s + k ∆ x ⋅ 1 ∆ y T 5 - T s + k ∆ y 2 ⋅ 1 ∆ x T 7 - T s

Aplicando ∆ x = ∆ y , teremos o seguinte:

q s = k 2 T 1 - T s + k T 2 - T s + k T 3 - T s + k T 4 - T s + k T 5 - T s + k 2 T 7 - T s

q s = k T 1 2 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 + T 7 2 - 5 T s

Substituindo os termos da equação acima pelos dados fornecidos, temos:

q s = 50   W / m ⋅ K 123,63 2 + 123,74 + 124,48 + 127,47 + 139,76 + 154,21 2 - 5 100

q s = 7703,75   50   W / m

Resposta

q s = 7703,75   50   W / m

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