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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 53

Uma longa barra condutora com seção transversal retangular ( 20   m m   ×   30   m m ) e condutividade térmica k   =   20 W m K , experimenta geração térmica uniforme a uma taxa de q ˙ =   5   ×   10 7 W m 3 , enquanto suas superfícies são mantidas a 300 K.

  1. Usando o método de diferenças finitas com um espaçamento na malha de 5 mm, determine a distribuição de temperaturas na barra.
  2. Mantidas as mesmas condições de contorno, qual taxa de geração de calor irá causar uma temperatura de 600 K no ponto central da barra?

Passo 1

Vamnos pra mais uma??

Aqui nós precisamos desenhar para conseguir ver melhor o que vai rolar !!

Nós vamos dividir a direção x em 6 espaçamentos, enquanto a direção y nós dividimos em 4 para que eles fiquem iguais entre si!!

Nós temos que pensar na simetria dentro do retângulo certo, e aí conseguimos chegar ao desenho:

Como todos os nós são interiores nós podemos usar a seguinte equação:

T i = 1 4 ∑ T v i z i n h o s + 1 4 q ˙ ∆ x ∆ y k

Como ∆ x = ∆ y :

T i = 1 4 ∑ T v i z i n h o s + 1 4 q ˙ ∆ x 2 k = 1 4 ∑ T v i z i n h o s + 15,625

Achando cada uma separadamente:

T 1 = 1 4 T s + T s + T 2 + T 4 + 15,625 = 0,25 600   K + T 2 + T 4 + 15,625

T 2 = 1 4 T s + T 1 + T 3 + T 5 + 15,625 = 0,25 300   K + T 1 + T 3 + T 5 + 15,625

T 3 = 1 4 T s + T 2 + T 6 + T 2 + 15,625 = 0,25 300   K + 2 T 2 + T 6 + 15,625

T 4 = 1 4 T s + T 1 + T 5 + T 1 + 15,625 = 0,25 300   K + 2 T 1 + T 5 + 15,625

T 5 = 1 4 T 2 + T 6 + T 2 + T 4 + 15,625 = 0,25 2 T 2 + T 4 + T 6 + 15,625

T 6 = 1 4 T 3 + T 5 + T 3 + T 5 + 15,625 = 0,25 2 T 3 + 2 T 5 + 15,625

Para resolver estas equações nós podemos usar o solver do Excel ou em outro software que vocês prefiram, ok?

T 1 = 348,6   K

T 2 = 368,9   K

T 3 = 374,6   K

T 4 = 362,4   K

T 5 = 390,2   K

T 6 = 398,0   K

Passo 2

Bom galerinha, na letra (b) nós temos que achar o valor do calor q ˙ sabendo que T 6 = 600   K , então:

T i = 1 4 ∑ T v i z i n h o s + 1 4 q ˙ ∆ x 2 k

T i = 0,25 ∑ T v i z i n h o s + q ˙ 3,125 × 10 - 7

Então nossas equações vão ficar assim:

T 1 = 0,25 600   K + T 2 + T 4 + q ˙ 3,125 × 10 - 7

T 2 = 0,25 300   K + T 1 + T 3 + T 5 + q ˙ 3,125 × 10 - 7

T 3 = 0,25 900   K + 2 T 2 + q ˙ 3,125 × 10 - 7

T 4 = 0,25 300   K + 2 T 1 + T 5 + q ˙ 3,125 × 10 - 7

T 5 = 0,25 2 T 2 + T 4 + 600   K + q ˙ 3,125 × 10 - 7

600   K = 0,25 2 T 3 + 2 T 5 + q ˙ 3,125 × 10 - 7

Resolvendo novamente nossas equações vamos obter:

q ˙ = 1,53 × 10 8 W m 3  

Tranquilinha, não é?

Resposta

  1. T 1 = 348,6   K   |   T 2 = 368,9   K   |   T 3 = 374,6   K   |   T 4 = 362,4   K   |   T 5 = 390,2   K   |   T 6 = 398,0   K ;
  2. q ˙ = 1,53 × 10 8 W m 3 .
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