Considere o seguinte campo de velocidade em regime permanente e tridimensional:

V → = u , v , w

=   3,0 + 2,0 x - y i → + ( 2,0 x - 2,0 y ) j → + ( 0,5 x y ) k →

Calcule o vetor vorticidade como função do espaço ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Para esse exercício vamos usar nosso conhecimento em cálculo vetorial hahaha! Brincadeira gente, já temos todo o suporte necessário para calcularmos o vetor vorticidade em função de ( x ,   y ,   z ) .

Bom, tendo o nosso campo de velocidade, vamos colocar o nosso vetor vorticidade em coordenadas cartesianas:

ζ → = ∂ w ∂ y - ∂ v ∂ z i → + ∂ u ∂ z - ∂ w ∂ x j → + ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y k →

Agora, substituindo os componentes u = 3,0 + 2,0 x - y , v = 2,0 x - 2,0 y e w = 0,5 x y , na expressão acima, temos:

ζ → = ∂ ∂ y ( 0,5 x y ) - ∂ ∂ z ( 2,0 x - 2,0 y ) i → + ∂ ∂ z ( 3,0 + 2,0 x - y ) - ∂ ∂ x ( 0,5 x y ) ) j → + ∂ ∂ x ( 2,0 x - 2,0 y ) - ∂ ∂ y 3,0 + 2,0 x - y k →

ζ → = 0,5 x - 0 i → + 0 - 0,5 y j → + 2 - ( - 1 ) k →

Portanto,

ζ → = 0,5 x i → - 0,5 y j → + 3.0 k →

Prontinho!!

Resposta

ζ → = 0,5 x i → - 0,5 y j → + 3.0 k →

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