A convecção de Marangoni ocorre quando uma superfície tiver uma variação na tensão superficial ao longo de seu comprimento. O número adimensional de Marangoni M é uma combinação da difusividade térmica α = k / ( ρ c P ) (em que k é a condutividade térmica), da escala de comprimento L , da viscosidade m e da variação δ Y da tensão superficial. Se M é proporcional a L , encontre sua forma.

Passo 1

A questão quer que a gente encontre a forma da função M , e fala que ela é adimensional. Vamos supor que essa função é homogênea, então se o lado esquerdo é adimensional, o lado direito também precisa ser, além disso o enunciado também fala que M é proporcional a L , então a função vai ter mais ou menos essa cara:

M = L f ( σ ,   μ ,   δ Y )

Sendo que não sabemos a cara de f ainda.

Passo 2

Vamos primeiro pegar as dimensões de cada uma dessas grandezas separadas:

μ = F T / L 2

δ Y = M / L T 2

Onde F é dimensão de força (newtons no caso do SI)

E para a difusividade térmica σ vamos precisar olhar a equação dela para descobrir suas dimensões:

σ = k / ( ρ c P )

σ = k ( ρ c P )

Como k no Si está em W / ( m ⋅ K ) , a densidade ρ em k g / m 3 e o calor específico c P em J / ( k g ⋅ K ) , a expressão para   σ fica:

σ = F ⋅ L T L Θ   ( M / L 3 F ⋅ L M Θ )

Simplificando algumas coisas:

σ = L 2 / T

Passo 3

Agora que temos as dimensões de cada grandeza, precisamos fazer o lado direito da equação de M ficar adimensional, podemos começar pelos produtos ou razões que mais fazem desaparecer as letras, tipo σ vezes μ :

σ μ = L 2 T F T L 2

Se simplificarmos sobra só dimensão de força:

σ μ = F = M L T 2

Mas faltou δ Y , que tem T 2 em seu denominador, então não vai ser bom a gente colocar ela vezes o produto que acabamos de fazer, mas a razão talvez corte algumas coisas:

σ μ δ Y = M L T 2 M L T 2 = L

Quando simplificamos sobra só dimensão de comprimento. Só que se a gente lembrar como era a equação de M , lá já tem algo proporcional a L que tem dimensão de comprimento. Como queremos fazer ficar adimensional, podemos inverter a razão acima:

δ Y σ μ = 1 L

E colocar na equação de M :

M = L δ Y σ μ = L σ μ δ Y

Pronto, repare que a parte de calculamos sobra só 1 / L que corta com a dimensão do L e deixa o lado direito adimensional, que era o que a gente queria, já que M também é adimensional.

Essa é uma forma homogênea de escrever a função M .

Resposta

M = L σ μ δ Y

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