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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 8

Quando uma válvula é aberta, o fluido escoa no duto divergente da Figura P4.8 de acordo com a aproximação

V = i U 1 - x 2 L tanh ⁡ U t L

Encontre (a) a aceleração do fluido em x ,   t = ( L ,   L / U ) e (b) o tempo para o qual a aceleração do fluido em x = L é zero. Por que a aceleração do fluido se torna negativa após a condição (b)?

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

a)

Nosso campo de velocidade é unidimensional o que facilita contas. haha

agora vamos só derivar o campo de velocidade como estamos fazendo até o dado momento!

Como nosso regime não é permanente, temos:

d V d t = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x

d V d t = U 1 - x 2 L U L sech 2 ⁡ U t L - U 1 - x 2 L U 2 L tanh ⁡ U t L

d V d t = U 2 L 1 - x 2 L sech 2 ⁡ U t L - 1 2 tanh ⁡ U t L

Nossa questão nos pede x = L e t = L / U ;

d V d t = U 2 L 1 - L 2 L sech 2 ⁡ U L U L - 1 2 tanh ⁡ U L U L

d V d t = U 2 2 L sech 2 ⁡ 1 - 1 2 tanh ⁡ 1

a x ≈ 0,0196 U 2 L

Passo 2

b)

Pra matar essa de vez só precisamos encontrar o tempo que a aceleração será igual a zzero:

a x = U 2 L 1 - x 2 L sech 2 ⁡ U t L - 1 2 tanh ⁡ U t L = 0

Para isso, vamos ter a seguinte situação:

sech 2 ⁡ U t L = 1 2 tanh ⁡ U t L

1 2 senh ⁡ 2 U t L = 2

Ou seja:

U t L ≈ 1,048

A aceleração se torna zero por conta da aceleração convectiva, que é negativa, cresce mais do que a aceleração local que é positiva, após isso a aceleração convectiva só cresce, assim tornando a aceleração total negativa!

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

a)

a x ≈ 0,0196 U 2 L

b)

U t L ≈ 1,048

A aceleração se torna zero por conta da aceleração convectiva, que é negativa, cresce mais do que a aceleração local que é positiva, após isso a aceleração convectiva só cresce, assim tornando a aceleração total negativa!

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