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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 43

Um corpo com forma de tronco de cone está girando com velocidade angular constante de 200 rad/s num recipiente cheio de óleo S A E   10 W a 20 ° C μ = 0,1   P a ∙ s , como mostrado na Figura P2-43. Se a espessura da película de óleo em todos os lados de 1,2   m m , determine a potência necessária para manter o movimento. Determine também a redução da potência de entrada necessária quando a temperatura do óleo aumenta para 80 ° C μ = 0,0078   P a ∙ s .

Passo 1

Inicialmente temos que o gradiente de velocidade em qualquer parte do óleo de espessura de filme h é:

V h

Em que V   =   ω r é a velocidade tangencial.

Passo 2

Então a tensão de cisalhamento da parede em qualquer lugar na superfície do tronco a uma distância r do eixo de rotação é:

τ w = μ d u d r = μ V h = μ ω r h

Passo 3

Agora devemos expressar a força de cisalhamento que atua na área diferencial d A na superfície, o torque gerado e a potência do eixo associada a ela, mas tudo bem elas podem ser expressas como sendo:

d F = τ w d A = μ ω r h d A

d T = r d F = μ ω r 2 h d A

T = μ ω h ∫ A r 2 d A

W ˙ c i s a l h a m e n t o = ω T = μ ω 2 h ∫ A r 2 d A

Passo 4

Agora só aplicarmos nas superfícies, logo teremos:

S u p e r f í c i e   s u p e r i o r : Substituindo e integrando d A = 2 π r d r .

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   s u p = μ ω 2 h ∫ r = 0 D 2 r 2 2 π r d r = 2 π μ ω 2 h ∫ r = 0 D 2 r 3 d r

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   s u p = 2 π μ ω 2 h r 4 4 r = 0 D 2 = π μ ω 2 D 4 32 h

S u p e r f í c i e   i n f e r i o r : Uma relação para a superfície inferior é obtida substituindo D por d ...

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   i n f = π μ ω 2 d 4 32 h

S u p e r f í c i e s   l a t e r a l : A área diferencial para a superfície lateral pode ser expressa como d A =   2 π r d z .   Por considerações geométricas, a variação do raio com a distância axial é expressa como:

r = d 2 + D - d 2 L z

A diferenciação dá...

d r = D - d 2 L d z       o u     d z = 2 L D - d d r

Portanto,

d A = 2 π d z = 4 π L D - d r d r

Substituindo e integrando...

W ˙ c i s a l h a m e n t o , s u p = μ ω 2 h ∫ r = 0 D 2 r 2 4 π L D - d r d r

W ˙ c i s a l h a m e n t o , s u p = 4 π μ ω 2 L h D - d ∫ r = d 2 D 2 r 3 d r

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   l a t e r a l = 4 π μ ω 2 L h D - d r 4 4 r = d 2 D 2 = π μ ω 2 L D 2 - d 2 16 h D - d

Passo 5

Agora podemos determinar a potência total, ou seja:

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   t o t a l = W ˙ c i s a l h a m e n t o , s u p + W ˙ c i s a l h a m e n t o , i n f + W ˙ c i s a l h a m e n t o , l a t e r a l

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   t o t a l = π μ ω 2 D 4 32 h 1 + d D 4 + 2 L 1 - d D 4 D - d

Onde temos que d D = 4 12 = 1 3 , logo substituindo...

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   t o t a l = π 0,1 N ∙ s m 2 200 s 2 0,12   m 4 32 0,0012   m 1 + 1 3 4 + 2 0,12   m 1 - 1 3 4 0,12 - 0,04 m 1 W 1 N m s

Observando que a potência é proporcional à viscosidade, a potência necessária a 80   °   C é:

W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   t o t a l , 80 ℃ = μ 80 ℃ μ 2 0 ℃ W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   t o t a l , 2 0 ℃ = 0,0078 N ∙ s m 2 0,1 N ∙ s m 2 270   W = 21,1   W

Resposta

Portanto, a redução na entrada de energia necessária a 80   °   C é:

R e d u ç ã o = W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   t o t a l , 20 ℃ - W ˙ c i s a l h a m e n t o ,   t o t a l , 80 ℃

R e d u ç ã o = 270 - 21,1 = 249   W

O que é cerca de 92%.

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